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1、 第2章圆锥曲线与方程 2 1圆锥曲线 第2章圆锥曲线与方程 学习导航 第2章圆锥曲线与方程 1 椭圆平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹叫做椭圆 两个定点F1 F2叫做椭圆的 两焦点间的距离叫做椭圆的 焦点 焦距 2 双曲线平面内到两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于F1F2的正数 的点的轨迹叫做双曲线 两个定点F1 F2叫做双曲线的 两焦点间的距离叫做双曲线的 3 抛物线平面内到一个定点F和一条定直线l F不在l上 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的 定直线l叫做抛物线的 4 圆锥曲线椭圆 双曲线 抛物线统称为 焦点 焦距 焦
2、点 准线 圆锥曲线 1 平面内到两点F1 3 0 F2 3 0 的距离之和等于8的点的轨迹是 2 已知两点F1 5 0 F2 5 0 到它们的距离的差的绝对值是6的点M的轨迹是 3 到定点A 4 0 和到定直线l x 4的距离相等的点的轨迹是 4 若动点P与定点F 1 1 和直线l 3x y 4 0的距离相等 则动点P的轨迹是 椭圆 双曲线 抛物线 直线 椭圆的定义 已知 ABC中 B 3 0 C 3 0 且AB BC AC成等差数列 1 求证 点A在一个椭圆上运动 2 写出这个椭圆的焦点坐标 链接教材P27T1 解 1 证明 在 ABC中 由AB BC AC成等差数列 AB AC 2BC 1
3、2 BC满足椭圆定义 所以点A在以B C为焦点的椭圆上运动 2 焦点坐标为 3 0 3 0 方法归纳 在根据椭圆定义判断动点的轨迹时 往往忽视条件 常数大于两定点间的距离 而导致错误 看到动点到两个定点的距离之和为常数 就认为是椭圆 不管常数与两个定点之间的距离的大小 因此 我们在做此类题目时 要养成一种良好的思维习惯 看到动点到两定点的距离之和是常数后 马上判断此常数与两定点之间的距离的大小关系 若常数大于两定点间的距离 则是椭圆 若常数等于两定点之间的距离 则是以两定点为端点的线段 若常数小于两定点之间的距离 则不表示任何图形 1 平面内有定点A B及动点P 命题甲 PA PB是定值 命题
4、乙 点P的轨迹是以A B为焦点的椭圆 那么甲是乙的 条件 必要不充分 双曲线 抛物线的定义 曲线上的点到两个定点F1 5 0 F2 5 0 的距离之差的绝对值分别等于 1 6 2 10 3 12 若满足条件的曲线存在 则是什么样的曲线 若不存在 请说明理由 链接教材P27T3 解 1 由于F1F2 10 6 满足该条件的曲线是双曲线 2 由于F1F2 10 满足该条件的不是曲线 而是两条射线 3 由于F1F2 10 12 满足条件的点的轨迹不存在 方法归纳 在根据双曲线定义判断动点的轨迹时 易出现以下两种错误 1 忽视定义中的条件 常数小于两定点之间的距离且大于0 2 忽视条件 差的绝对值 因
5、此当看到动点到两定点的距离之差是常数时 就草草下结论误认为动点的轨迹是双曲线 因此 我们要养成一种良好的思维习惯 看到动点到两定点的距离之差的绝对值是常数时 要先判断常数与两定点之间的距离的大小关系 若常数小于两定点间的距离 则是双曲线 若常数等于两定点间的距离 则是以两定点为端点的两条射线 若常数大于两定点间的距离 则不表示任何图形 即无轨迹 2 已知直线l x 2y 3 0 点F 2 1 P为平面上一动点 过P作PE l于E PE PF 则点P的轨迹为 解析 点F 2 1 不在直线l上 且PE PF 点P的轨迹为抛物线 抛物线 利用圆锥曲线的定义求轨迹 方法归纳 求解轨迹问题时 应首先联想
6、三种圆锥曲线定义 若条件满足定义要求则套用相应圆锥曲线方程即可解决问题 如图 P为正方体ABCD A1B1C1D1侧面BCC1B1内一动点 若点P到棱AB的距离与到平面A1B1C1D1的距离相等 则动点P的轨迹是 线段 椭圆 圆 抛物线 解析 在正方体ABCD A1B1C1D1中 连结PB 图略 AB 平面BCC1B1 PB 平面BCC1B1 AB PB P到棱AB的距离 即PB的长 平面BCC1B1 平面A1B1C1D1 交线为B1C1 P到平面A1B1C1D1的距离 即到棱B1C1的距离 根据题意可知P到定点B的距离与到定直线B1C1的距离相等 从而可知动点P的轨迹是抛物线 答案 名师点评 1 点P在侧面BCC1B1上 故动点P的轨迹是平面曲线 2 点P到棱AB的距离 抓住正方体的棱与侧面垂直 可知P到棱AB的距离即到点B的距离 3 点P到平面A1B1C1D1的距离 抓住正方体的侧面互相垂直可知P到平面A1B1C1D1的距离 即到棱B1C1的距离 4 综合 2 3 及圆锥曲线的定义 可得正确结论
