《2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法新人教B选修1-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法新人教B选修1-2（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 2 2反证法 1 了解反证法是间接证明中最基本和最常用的一种方法 2 熟练掌握用反证法证题的三个步骤 1 反设 2 归谬 3 结论 3 认识反证法在数学证明中的重要作用 学会用反证法证题 并能根据题目的类型合理选择证明问题的方法 学会寻找问题中的矛盾 进行正确推理 反证法一般地 由证明p q转向证明 q r t t与假设矛盾 或与某个真命题矛盾 从而判定 q为假 推出q为真的方法 叫做反证法 知识拓展 1 反证法的实质 证明命题的否定为假 所以命题为真 2 应用反证法证明数学命题的一般步骤 分清命题的条件和结论 作出与命题结论相矛盾的假定 由假定出发 应用正确的推理方法 推出矛盾的结果 断
2、定产生矛盾结果的原因 在于开始所作的假定不真 于是原结论成立 从而间接地证明命题为真 3 反证法的适用情形 否定性命题 唯一性问题 至多至少问题 4 用反证法证明命题得出矛盾的方法 与假定矛盾 与数学公理 定理 公式 定义或已被证明了的结论矛盾 与公认的简单事实矛盾 5 反证法常用的否定形式 做一做1 命题 a b是实数 若 a 1 b 1 0 则a b 1 用反证法证明时 应假设 解析 a b 1 是 a 1 且b 1 又因为 p且q 的否定为 非p或非q 所以 a b 1 的否定为 a 1或b 1 答案 a 1或b 1 做一做2 用反证法证明命题 若x2 a b x ab 0 则x a 且
3、x b 时 应假设 答案 x a或x b 如何理解反证法 剖析 反证法证题的特征 通过导出矛盾 归结谬误 而使命题得证 反证法的原理是 否定之否定等于肯定 反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾 从而说明原结论正确 即证明命题的逆否命题成立 否定结论 对结论的反面要一一否定 不能遗漏 否定一个反面之反证法称为归谬法 否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法 要注意用反证法解题时 结论的否定在推理论证中可以作为已知使用 导出矛盾是指在假设的前提下 逻辑推理结果与 已知条件 假设 公理 定理或显然成立的事实 等相矛盾 用反证法证明不等式 常用的否定形式有 的反面为 的反面为 的反面为 的反面为 的反
4、面为 反证法属逻辑方法范畴 它的严谨体现在它的原理上 即 否定之否定等于肯定 其中 第一个否定是指 否定结论 第二个否定是指 逻辑推理结果否定了假设 反证法属 间接解题方法 书写格式易错之处是 假设 易错写成 设 反证法不是直接证明结论 而是先否定结论 在否定结论的基础上运用演绎推理 导出矛盾 从而肯定结论的正确性 题型一 题型二 题型三 题型四 否定性命题的证明 例题1 设数列 an 是公比为q的等比数列 Sn是它的前n项和 求证 数列 Sn 不是等比数列 分析 本题是否定性命题 可以尝试用反证法证明 证明 证法一 反证法 假设数列 Sn 是等比数列 则 S1S3 即 1 q 2 a1 a1
5、 1 q q2 因为a1 0 所以 1 q 2 1 q q2 即q 0 这与q 0矛盾 故数列 Sn 不是等比数列 证法二 要证数列 Sn 不是等比数列 只需证明SnSn 2 因为Sn 1 a1 qSn Sn 2 a1 qSn 1 所以 a1 qSn 1 a1 qSn Sn 1 a1 Sn Sn 1 a1an 1 0 所以数列 Sn 不是等比数列 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题的解答依据是等差数列和等比数列的概念和性质 体现了特殊化思想和正难则反的思维策略 题型一 题型二 题型四 题型三 至多 至少问题的证明 例题2 求证 当m为实数时 关于x的一元二次方程x2 5x m 0与2x2
6、 x 6 m 0至少有一个方程有实根 分析 从正面证明难以入手 考虑应用反证法证明 证明 假设上述两个方程都无实根 则 因为满足 的实数m不存在 所以当m R时 所给两个方程至少有一个方程有实根 反思凡含有 至少 至多 等词语的命题宜采用反证法证明 题型一 题型二 题型三 题型四 唯一性命题的证明 例题3 已知 直线a b为两条相交直线 求证 a与b有且只有一个交点 分析 有且只有 唯一 等问题常考虑应用反证法证明 证明 假设结论不成立 即有两种可能 无交点 至少有两个交点 若直线a b无交点 则a b或a b异面 这与已知 a b为两条相交直线 矛盾 若直线a b至少有两个交点A和B 这样同
7、时经过点A B就有两条直线 这与 经过两点有且只有一条直线 相矛盾 综上所述 两条相交直线a b有且只有一个交点 反思结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题 由于反设结论易于导出矛盾 所以用反证法证其唯一性简单明了 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点 运用反证法证明命题时 第一步否定结论易错 因为有些结论的对立面不易确定 从而出错 解决的方法是 1 利用集合思想检验 2 对特殊的关键词 要记住它的否定形式 例题4 用反证法证明命题 若ab不是偶数 则整数a b都不是偶数 时 应假设 错解 整数a b不都是偶数 错因分析 整数a b不都是偶数包括的情况是 a是偶数 b
8、是奇数 a是奇数 b是偶数 a b都是奇数 显然 假设并不是结论的对立面 所以不正确 题目中 整数a b都不是偶数 即 整数a b都是奇数 故假设为 整数a b不都是奇数 正解 整数a b不都是奇数 12345 答案 D 12345 2用反证法证明 自然数a b c中恰有一个偶数 时的正确假设为 A a b c都是奇数B a b c都是奇数或至少有两个偶数C a b c都是偶数D a b c中至少有两个偶数解析 a b c三个数的奇偶性有以下几种情况 全是奇数 有两个奇数 一个偶数 有一个奇数 两个偶数 全是偶数 因为要否定 所以假设应为 a b c全是奇数或至少有两个偶数 答案 B 12345 3两条异面直线在同一个平面内的射影不可能是 A 两条平行直线B 两条相交直线C 一点与一条直线D 同一条直线解析 假设两条直线在同一个平面内的射影是同一条直线 则这两条直线的位置关系为平行或相交或重合 这均与两条直线异面矛盾 故异面直线在同一个平面中的射影不可能为同一条直线 答案 D 12345 4用反证法证明命题 如果a b N ab可被5整除 那么a b中至少有一个能被5整除 时 假设的内容是 解析 至少有一个 的反设词是 一个都没有 即 都不能 答案 a b都不能被5整除
