《新高考艺体生百日冲刺专题1.7平面向量（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考艺体生百日冲刺专题1.7平面向量（解析版）（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考专题1.7平面向量 从近几年高考命题来看，关于平面向量的考查，一般有两种考法，一是独立考查，主要有平面向量基本定理、平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量的坐标运算、平面向量的数量积及其应用（向量的平行、垂直、夹角等）；二是综合考查，即与三角函数、平面解析几何、函数、数列等交汇，涉及内容主要有平面向量的模（距离）、平面向量的线性运算及其几何意义、共线向量定理（平行）、垂直、夹角等.综合考查运算求解能力、数形结合思想的应用.2020年应保持稳定，全国卷较为简单，其它省份如浙江省、江苏省、上海市等，难度稍大.一、平面向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模2
2、零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的3单位向量：长度等于1个单位的向量4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线5相等向量：长度相等且方向相同的向量6相反向量：长度相等且方向相反的向量二、平面向量的线性运算1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：；(2)结合律：减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则2.向量的数乘运算及其几何意义（1）定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a的方向与a的方向相同；当
3、0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0.（2）运算律：设，是两个实数，则：；.三、共线向量定理及其应用1.共线向量定理：向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.2.平面向量共线定理的三个应用四、平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底五、平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)若，则；(2)若，则(3)设，则，.六、平面向量数量积的运算（一）两个向量的夹角1定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角2范围向量夹角
4、的范围是0180a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角180.3向量垂直如果向量a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作ab.（二）平面向量的数量积1已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角规定0a0.当ab时，90，这时ab0.2ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积（三）数量积的运算律1交换律：abba.2分配律：(ab)cacbc.3对R，(ab)(a)ba(b)七、向量数量积的性质（一）向量数量积的性质1如果e是单位向量，则aeea.2abab0.3aa|a
5、|2，.4cos .(为a与b的夹角)5|ab|a|b|.（二）数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：1aba1b1a2b2.2aba1b1a2b20.3|a|.4cos.(为a与b的夹角)【典例1】给出下列结论：数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.
6、3D.4【答案】D【解析】向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，正确；实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，正确；数轴用一个实数来表示向量，正负决定其方向，绝对值决定其长度，正确；数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，正确.故选：D.【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混淆(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量
7、，是与a反方向的单位向量(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件【典例2】（2018年新课标I卷文理）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=（ ）A. 34AB-14AC B. 14AB-34AC C. 34AB+14AC D. 14AB+34AC【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE=12BA+12BC，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到BC=BA+AC，之后将其合并，得到BE=34BA+14AC，下一步应用相反向量，求得EB
8、=34AB-14AC，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得BE=12BA+12BC=12BA+12(BA+AC) =12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，所以EB=34AB-14AC，故选A.【典例3】（2019山东高考模拟（文）在正方形中，为的中点，若，则的值为（ ）ABCD1【答案】B【解析】由题得,.故选：B【方法技巧】1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(
9、1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)比较、观察可知所求3.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线(1t)t(O为平面内任一点，tR)【典例4】（2017天津高考真题（文）在中，. 若，且，则的值为_.【答案】【解析】 ,则.【总结提升】平面
10、向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决【典例5】（2019全国高考真题（文）已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|ab|=（ ）AB2C5D50【答案】A【解析】由已知，所以，故选A【典例6】（2019北京高考真题（文）已知向量=（4，3），=（6，m），且，则m=_.【答案】8.【解析】向量则.【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的
11、法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解【典例7】（2017山东高考真题（文）已知向量a=（2,6）,b=,若ab,则 _.【答案】-3【解析】由可得 【方法技巧】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a(x1,y1),b(x2,y2),则的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地,在求
12、与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三点共线问题A,B,C三点共线等价于与共线.【典例8】（2018天津高考真题（理）如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）ABCD【答案】A【解析】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，设=所以当时，上式取最小值 ，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示同时利用向量共线转化为函数求最值【典例9】（2018天津高考真题（文）在如图的平面图形中，已知OM
13、=1.ON=2,MON=120,BM=2MA,CN=2NA,则BCOM的值为（ ）A-15 B-9C-6 D0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由BM=2MA,CN=2NA 可知点M,N分别为线段AB,AC上靠近点A的三等分点，则BC=3MN=3ON-OM，由题意可知：OM2=12=1，OMON=12cos120=-1，结合数量积的运算法则可得：BCOM=3ON-OMOM=3ONOM-3OM2=-3-3=-6.本题选择C选项.【典例10】（2019全国高考真题（理）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（ ）A-3B-2C2D3【答案】C【解析】由，得，则，故选C【典例11】（2019
14、天津高考真题（文） 在四边形中， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则_.【答案】.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，。因为，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为。由得，所以。所以。【方法技巧】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即ab|a|b|cos(是a与b的夹角)(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解；如果向量不是坐标形式，可根据具体情况建系【典例12】（2019
