《专题7 三、四边形存在性问题 教师版 05》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题7 三、四边形存在性问题 教师版 05（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、45.如图，OA、OB的长分别是关于x的方程x212x32=0的两根，且OAOB请解答下列问题：（1）求直线AB的解析式； （2）若P为AB上一点，且；，求过点P的反比例函数的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形? 若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）解x212x32=0得x1=4，x2=8。OA、OB的长分别是关于x的方程x212x32=0的两根，且OAOB，OA=8，OB=4。A（8，0），B（0，4）。设直线AB的解析式为，则，解得。直线AB的解析式为。（2）过点P作PHx轴于点H。设P（x，y），由AH= x8。
2、，即。解得 x=6。点P在上，。P（6，1）。设过点P的反比例函数的解析式为，则。点P的反比例函数的解析式为。（3）存在。点Q的坐标为（2，1）或或。【分析】（1）求出方程x212x32=0的两根得到A、B两点的坐标，用待定系数法即可求得直线AB的解析式。（2）求出点P 的坐标，即可求得过点P的反比例函数的解析式。（3）根据等腰梯形的性质，当AO是等腰梯形的的底边时，AO的中垂线为x=4，则点P（6，1）关于x=4的对称点为Q1（2，1），此时四边形AOQ1P是等腰梯形。当PO是等腰梯形的的底边时，PO的中点坐标为C（3，），PO： ，由O（0，0），P（6，1）求得，解得。PO：。 过点C与
3、PO垂直的直线CD：，过点A与PO平行的直线AD：，二者联立，解得，点D的坐标为，则点A（8，0）关于点D的对称点为Q2，此时四边形AQ2PO是等腰梯形。 当AP是等腰梯形的的底边时，AP的中点坐标为C（7，），AB：。 过点E与AB垂直的直线EF：，过点O与AB平行的直线FO：，二者联立，解得，点F的坐标为，则点O（0，0）关于点F的对称点为Q3，此时四边形APOQ3是等腰梯形。46. （2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（1，0）。（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对
4、称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）A（0，2），B（1，0），OA=2，OB=1。 由RtABC知RtABORtCAO，即，解得OC=4。点C的坐标为（4，0）。（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为，将A（0，2）代入，得，解得。过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。，抛物线的对称轴为。（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。
5、点P（m，n）在上，P。， ，。 。，当时，S最大。当时，。点P的坐标为（2，3）。（4）存在。点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）。【分析】（1）由RtABORtCAO可得，从而求出点C的坐标。（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：，设过点P与AC平行的直线为。由点P在和可得。，整理，得。要使PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即与只有一个交点，即的0，即，解得。将代入得，将代入得。 当S最大时点P的
6、坐标为（2，3）。（4）设点M（），C（4，0）, P（2，3）,PC=,PM=, CM=。分三种情况讨论： 当点M是顶点时，PM= CM，即，解得，。M1（）。当点C是顶点时，PC= CM，即，解得，。M2（），M2（）。当点P是顶点时，PC= PM，即，解得，。M4（），M5（）。综上所述，当点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）时，MPC为等腰三角形。47.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A，0)、B(0，3)、C（1，0）三点(1) 求抛物线的解析式和顶点D的坐标；(2) 如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转,与直线交于点N在直线DN上是否存在点M，使得MON=若存
7、在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 点P、Q分别是抛物线和直线上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标 【答案】解：（1）由题意把A(3，0)、B(0，3)、C(1，0)代入得，解得 。抛物线的解析式是。，抛物线的顶点D的坐标为（1，4）。（2）存在。理由如下： 由旋转得EDF=60。在RtDEF中，EDF=60，DE=4，EF=DEtan60=4。OF=OE+EF=1+4。F点的坐标为（，0）。设过点D、F的直线解析式是，把D（1，4），F（，0）代入求得 。分两种情况：当点M在射线ND上时，MON=75，BON=45，MOB=MONBON=30。MOC=60。直线
8、OM的解析式为。点M的坐标为方程组的解，解方程组得，。点M的坐标为（，）。 当点M在射线NF上时，不存在点M使得MON=75。MON=75，FON=45， FOM=MONFON=30。DFE=30。FOM=DFE。OMFN。不存在点M使得MON=75。综上所述，存在点M ，且点M的坐标为（，）。（3）有两种情况：如图，直角梯形OBPQ中，PQOB，OBP=90。OBP=AOB=90，PBOA。点P、B的纵坐标相同都是3。点P在抛物线上，把3代入抛物线的解析式，解得2，0（舍去）。由PQOB得到点P、Q的横坐标相同，都等于2，把2代入得2。所以Q点的坐标为（2，2）。如图，在直角梯形OBPQ中，
9、PBOQ，BPQ=90。D(1，4)，B(0，3) ，DBOQ。PBOQ，点P在抛物线上，点P、D重合。EDF=EFD=45。EF=ED=4。OF=OE+EF=5。作QH轴于H，QOF=QFO=45，OQ=FQ。OH=OF=。Q点的横坐标。Q点在上，把代入得。Q点的坐标为（，）。综上所述，符合条件的点Q有两个,坐标分别为：（2，2），（，）。48.如图，抛物线交轴于点C，直线 l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点.P到轴的距离为，到轴的距离为1.点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线 l于B. （1）求抛物线的表达式；（2）直线与抛物线在第一象限内交于点D，与轴交于点F,连接
10、BD交轴于点E，且DE:BE=4:1.求直线的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）抛物线交轴于点C，C（0，-3）则 OC=3。P到轴的距离为，P到轴的距离是1，且在第三象限，P（-1，-）。C关于直线l的对称点为A，A（-2，-3）。将点A（-2，-3），P（-1，-）代入得，解得。 抛物线的表达式为。（2）过点D做DG轴于G，则DGE=BCE=90。DEG=BEC，DEGBEC。DE:BE=4:1，BC=1，, 则DG=4。 将=4代入，得=5。D（
11、4,5）。 过点D（4,5）, ,则=2。所求直线的表达式为 。 （3）存在。 M1，M2，M3， M4。49.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0t4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得PAM是直角三角形？若存在，请求出
12、点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）A（8，0），B（0，4）。（2）AB=AC，OB=OC。C（0，4）。设直线AC：，由A（8，0），C（0，4）得，解得。直线AC：。 直线l移动的速度为2，时间为t，OE=2t。设P， 在中，令x=2t，得，M（2t，）。BC=8，PM=，OE=2t，EA=，。四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0t4）。，四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。（3）存在。由（2），在0t4，即0t8时，AMP和APM不可能为直角。若PAM为直角，则PACA，AOCPEA。设P，则OC=4，OA=8，EA=8p，EP=，整理得，解得（舍去）。
13、当时，。P（3，10）。当P（3，10）时，PAM是直角三角形。50.如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且对称轴是直线x=（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）将图甲中ABO沿x轴向左平移到DCE（如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请说明点C和点D都在该抛物线上（3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点M不与点C、D重合），经过点M作MNy轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t，MN的长度为l，求l与t之间的函数解析式，并求当t为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（
14、a0）的顶点坐标为（，），对称轴是直线x=） 解：（1）由于抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点B（0，3），则 c=3。抛物线的对称轴 x=，b=5a=。抛物线的解析式：y=x2+x+3。（2）A（4，0）、B B（0，3），OA=4，OB=3，。若四边形ABCD是菱形，则 BC=AD=AB=5，C（5，3）、D（1，0）.将C（5，3）代入y=x2+x+3中，得：（5）2+（5）+3=3，点C在抛物线上；同理可证：点D也在抛物线上。（3）设直线CD的解析式为：y=kx+b，依题意，有： ，解得。直线CD：y=x。由于MNy轴，设 M（t，t2+t+3），则 N（t，t ）。t5或t1时，l=MN=（t2+t+3）（t ）=t2+t+；5t1时，l=MN=（t ）（t2+t+3）=t2t。若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，由于MNCE，则MN=CE=3，则有：t2+t+=3，解得：t=32；或t2t=3，解得：t=3。综上所述，l与t之间的函数解析式为l=。且当t=32或3时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形。51.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，
