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1、平面几何一题多变在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。19、（增加题1的条件）AE平分BAC交BC于E，求证：CE：EB=CD：CB20、（增加题1的条件）CE平分BCD，AF平分BAC交BC于F求证：（
2、1）BFCE= BEDF （2）AECF （3）设AE与CD交于Q，则FQBC21、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，求证： CE：BC=CF：AC（注意本题和16题有无联系）22、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，求证： EF是O1和O2的一条外公切线23、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）24、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为
3、ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，O1与O2外切与点D，内公切线DO交外公切线EF于点O，求证：OD是两圆半径的比例中项。题14解答：因为CD2=ADDB AC2=ADAB BC2=BDAB所以1/AC2+1/BC2=1/（ADAB）+1/（BDAB）=（AD+DB）/（ADBDAB）=AB/ADBDAB=1/ADBD=1/CD215题解答：因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC2-BC2=AD*AB-DB*AB =(AD-DB)AB =2DM*AB26、（在19题基础上增加一条平行线）已知，A
4、BC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，FGAB交BC于点G，求证：CE=BG27、（在19题基础上增加一条平行线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，FGBC交AB于点G，连结EG，求证：四边形CEGF是菱形28、（对19题增加一个结论）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，求证：CE=CF29、（在23题中去掉一个圆）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1， 求证：过点D的圆O1的切线平分BC30、（在19题
5、中增加一个圆）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E，交CD于F，求证：CED平分线段AF31、（在题1中增加一个条件）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，A=30度，求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第117页第3题）32、（在18题基础上增加一条直线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作BCE=BCDP为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N求证：PQ/PN=QM/MN32题证明：作NSCD交直线AC与点S，则PQ/PN=CQ/SN又BCE=BCDQM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理
6、）BCE+NCS=BCD +ACDNSCD，NSC=ACDNSC=NCSSN=CNPQ/PN=QM/MN题33在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DEAB= AEBE题33证明CB2= BDAB因EB=CBEB2= BDABEB：BD=AB：BE又EBD=ABEEBDABEEB：AB=DE：AEDEAB= AEBE题34（在19题基础上增加一条垂线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分CD于F，EGAB交AB于点G，求证：EG2= BEEC证明：延长AC、GE，设交点为H，EBGEHCEB：EH=EG：ECEHEG= BEEC又HGCD，CF
7、=FDEH=EGEG2= BEEC题35（在题19中增加点F）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BCA交BC于点E，交CD于F，求证：2CFFD = AFEF题36、（在题16中，减弱条件，删除ACB=90度这个条件）已知，ABC中， CDAB，D为垂足，DEAC于E，DFBC于F，求证：CE/BC=CF/AC题37（在题17中，删除ACB=90度和CDAB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足ACD=ABC）已知，ABC中，D是AB上一点，满足ACD=ABC，又CE平分BCD求证：AE2= ADAB题38已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，P
8、C为ABC的切线求证：PA/AD=PB/BD 题39（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为BC上任意一点，连结AE，CFAE，F为垂足，连结DF，求证：ADFAEB题40：已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足求证：SADC：SBDC=AD：DB题41已知，如图，ABC中， CDAB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD， 求ACB的度数。题42 已知，CD是ABC的AB边上的高， D为垂足，且AD/CD=CD/BD， 则ACB一定是90度吗？为什么？题43：已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ADC的内切
9、圆O1，BDC的内切圆O2，求证：SO1：SO2=AD：DB题44：已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ADC的内切圆O1的半径R1，BDC的内切圆O2的半径R2，ABC的内切圆O的半径R，求证：R1+R2+R=CD 题45、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD为直径的圆O2，设O1和O2在ABC内交于P求证： PAD的面积和PBC的面积相等题45解：CAP=CDP=DBP（圆周角、弦切角）RtAPCRtBPDAPPD= BPPC又APD和CPB互补（APC+BPD=180度）S PAD=1/2APPDsinAPDS PBD=1/
10、2BPPCsinCPBS PAD= S PBD题46（在题38的基础上变一下）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，PC为ABC的切线，又CE平分ACB交ABC与E，交AB与D ， 若PA=5，PC=10，求 CDCE的值题47在题46中，求sinPCA题48（由题19而变）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分ACB交BC于E，EGAB交AB于点G，求证：（1）AC=AG（2）、AG2= ADAB（3）、G在DCB的平分线上（4）、FGBC（5）、四边形CEFG是菱形题49题49解答：题目50（题33再变）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足
11、，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，如果此时AC=EC，求证： AF= 2FE题50解：过点E作EMCF，M为垂足，则AD：DB=AC2：CB2=4：1又DB：EM=1：2所以，AD：EM=2：1ADFEMFAF：EF=AD：EM=2：1AF=2EF题目51（题50中连一线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，连结FB，如果此时AC=EC，求证： ABC=EBF（题51的几种解法）解法1、作ACB的平分线交AB于点G，易证ACGCEFCG=EF证CBGEBFABC=EBF题51解法2作ACB的平分线交
12、AB于点G，交AE于点P，则点G 为ACE的垂心，GFCE又AEC=GCE，四边形CGFE为等腰梯形CG=EF再证CBGEBFABC=EBF题51解法3作ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，则点G 为ACE的垂心，易证APGCPF（AAS）PG=PF又GPB=FPB，PB=PBPBGFBP（SAS）PBG=FBPABC=EBF题51解法4（原题图）由题50得，AF=2EFAF：EF=AC：BE=2又CAF=BEF=45度ACFEBFACF=EBF又ACF=CBAABC=EBF题51解法5作MECE交CD的延长线于M，证ABCCME（ASA）ABC=M再证MEFBEF（SAS）EBM=MA
13、BC=EBF题51解法6作点B关于点C的对称点N，连结AN，则NB=2BE，又由题50，AF=2EF，BFANEBM=N又ABC=N（对称点）ABC=EBF题51解法7过点C作CHBF交AB于M，B为CE的中点， F为HE的中点又由题50，AF=2EF，H为AF的中点又CHBFM为AB的中点MCB=MBC又EBM=MCBABC=EBF题目52（题50、51结论的引伸）已知，ABE中，AC=EC，ACE=90度，CDAB交斜边AB于F，D为垂足，B为CE的中点，连结FB， 求证：（1）、AF=2EF（2）、ABC=EBF（3）、EBF= E+BAE（4）、ABF=2DAC（5）、AB：BF=AE：EF（6）、CD：DF=AE：AF（7）、AD：DB=2AF：EF（8）、CD/DFFA/AEEB/BC=1题目53 （题52的一
