《Ch2 流体中声波-02 波动方程的建立》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Ch2 流体中声波-02 波动方程的建立（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中国石油大学 北京 测井研究中心乔文孝 第二章 流体中声波的基本性质第二章 流体中声波的基本性质 第二章 流体中声波的基本性质第二章 流体中声波的基本性质 流体中的波动方程流体中的波动方程 平面波平面波 能量 声压级 边界条件能量 声压级 边界条件 声波垂直入射和斜入射两种流体界面声波垂直入射和斜入射两种流体界面 非均匀波 声波垂直透过中间层非均匀波 声波垂直透过中间层 矩形声波导矩形声波导 柱面波 圆柱波导柱面波 圆柱波导 球面波 点声源球面波 点声源 偶极源 相控线阵声源偶极源 相控线阵声源 活塞型声源的辐射特性活塞型声源的辐射特性 活塞源轴线上的远近场临界距离活塞源轴线上的远近场临界距离
2、 2 3理想流体媒质中的声波方程理想流体媒质中的声波方程 pp x y z t 研究研究 根据声波过程中的物理规律根据声波过程中的物理规律 建立声压随空间位建立声压随空间位 置和随时间变化的关系置和随时间变化的关系 这种关系的数学表示就这种关系的数学表示就 是声波波动方程是声波波动方程 通通过声压过声压可以进而求得密度可以进而求得密度的变化量 质点的变化量 质点速度等其速度等其 它描述它描述声场物理量声场物理量所满足所满足的波动方程的波动方程 声声振振动动作为一个宏观作为一个宏观的物理的物理现象现象 必然要满足牛顿必然要满足牛顿第二第二 定定律 质量律 质量守恒定守恒定律和律和热力热力学学定定
3、律律 从一维情从一维情形形 平面波平面波问题问题 入入手手 推广到三维推广到三维 函数的函数的泰勒级数泰勒级数展开展开 0 0 0 0 1 2 n n n fx f xxxn n 000 f xf xfxxx 0000 f x f xf xfxxxxx x 00 f x f xf xxx x 1 运动方程运动方程 设想在设想在声场中声场中取一足够小取一足够小的体的体积元积元 其其体体积为积为Sdx 由于由于声压随位置声压随位置 x而异而异 因此作用在因此作用在体体积元左侧积元左侧面面与右侧与右侧面上的面上的力不力不相相等等 其合力其合力就就 导导致致这这个个体体积元里积元里的质点的质点沿沿x方
4、方向运向运动动 xx dx X F1F2 P0 p P0 p dp SpPF 01 SdppPF 02 p dpdx x 2 1 p F FFSdx x Sdx dvp Sdx dtx dvp dtx 小小体体元在元在x方方向所受合力向所受合力 根据根据牛顿牛顿第二第二定定律律可得可得 整整理理可得可得 1 运动方程运动方程 xx dx X F1F2 P0 p P0 p dp dvp dtx 根据理想流体的 小振幅小振幅声波声波 假设 质点的振动速度 远小于声波的传播速度 可以证明 0 pv tx 0 cv 中国石油大学 北京 测井研究中心乔文孝 2 连续性方程连续性方程 质量守恒定律质量守恒
5、定律 设想在声场中取一足够小体积元 其体积为Sdx 如在体积元左侧面 x处 媒质质点的速度为 v x 密度为 x xv dxx v 在同一单位时间内从体积元经过右侧面流流出出的质量的质量为 v x dxS 取 v x dxS的泰勒泰勒展开式的一级近似即为 x x dxx v v v Sdx S x 单单位时间位时间内内流入体流入体积元积元的的净净质量质量为为 v x Sdx 在单位时间内通过左侧面流入流入该体 积元的质量应等于截面积为S 高度 为 v x的柱体体积内包含的媒质质量 即 v xS 2 连续性方程连续性方程 质量守恒定律质量守恒定律 xv dxx v 在同一单位时间内从体积元经过右
6、侧 面流流出出的质量的质量 x x dxx v v v Sdx S x 单单位时间位时间内内流入体流入体积元积元的的净净质量质量为为 v x Sdx 在单位时间内通过左侧面流入流入该体 积元的质量 v xS 在单在单位时间位时间内内体体积元内积元内质量的质量的增加增加量量必然等于必然等于流入体流入体积元积元的的净净 质量质量 即即 vM SdxSdx xtt 整理后可得 v xt 2 连续性方程连续性方程 质量守恒定律质量守恒定律 xv dxx v 于是可得 v xt 根据理想流体的 小振幅小振幅声波声波 假设 小体元密度的变化量远小 于其静态质量 0 0时必有d 0 所以dP与d 的比例系数
7、恒大于零 现以c2表示 于是 2 cdPd 2 S 11 K dP S S SS S dV KdPdP V c dV d V MV 对于固定对于固定质量体质量体元 元 0d VdV d dV V 关于c2的讨论 s 大 媒大 媒质质易易变形 变形 弹弹性性大 大 为为体体积弹积弹性系数 性系数 使媒使媒质质发发生生单单位形变位形变所所需需 的压的压强强变化量变化量 s K大 媒 大 媒质质不易不易变形 变形 刚刚性性大大 叫刚叫刚性系数性系数更更加合加合适适 为绝热为绝热体体积积压压缩缩系数系数 单单位压位压强强变化变化引起引起的体的体积积相相对对变化变化 负号负号表示压表示压强强 和体和体积
8、积的变化方的变化方向向相相反反 dP S dV V S 1 K S dP dV V 2 d d s S d PdP c S s V Vdd 2 1 S S S S KdPdP c ddV V 3 物态方程 热力学定律 绝热绝热过程过程 PP 2 c dPd 所以所以 2 S dP c d 根据理想流体的 小振幅小振幅声波声波 假设 在在平平衡态衡态 P0 0 附附近近将将c2按按泰勒泰勒级数级数展开展开 可得 可得 2 2 0 2 0 0 SSS dPdPd P c ddd 0 很小 于于是是可得可得 2 0 0S dP c d 2 0 cp 中国石油大学 北京 测井研究中心乔文孝 声压的波动
9、方程 对小振幅声波对小振幅声波 经过略去二级以上微量的所谓线性化手续以后经过略去二级以上微量的所谓线性化手续以后 媒质的三个基本方程都已简化为线性方程 媒质的三个基本方程都已简化为线性方程 0 p v tx 0 v xt 2 0 p c 根据这根据这一一方程方程组组 即可即可消去消去v 得到得到关关于于声压的方程声压的方程 2 00 vp c xt 2 00 22 2 vp c t xt 22 222 0 1 x pp ct 运运动方程动方程连续连续性方程性方程绝热绝热方程方程 将将绝热绝热方程方程带带入入连续连续性方程性方程 两边两边对对时间时间求求导数导数 运运动方程动方程对对x求求导数导
10、数并并整整理理可得可得 类似地类似地可得可得关关于于v 的波动方程的波动方程 流体中的一维波动方程 22 222 0 1 x pp ct 声压的波动方程 22 222 0 1 x vv ct 振速的波动方程 22 222 0 1 xct 密度变化量的波动方程 理想流体媒质中小振幅声波的波动方程 忽略了二级以上微量以后得到 故称为线性声波方程 一维平面波声波方程 注意 类似地可得其它物理量其它物理量的波动方程 三维波动方程三维波动方程 以上我们都假定声场在y z方向是均匀的 从而导得 了一维声波方程 为了普遍起见 现在讨论三维情形 即声场在x y z 三个方向上都不均匀 媒质的三个基本方程乃至波
11、动方程的推导完全类似 于一维情形 不同的只是现在还要计及y z方向压 强的变化而作用在体积元上的力 体积元的速度也 不恰好在x方向 而是空间的一个矢量 为避免重复 这里不再逐一推导 只把一维情况的结 果简单地推广到三维情况 以下将小体元一维的运动方程和连续性方程推广到 三维 三维运动方程三维运动方程 x vp tx y v p ty z vp tz y xz v vvppp ijkijk tttxyz ijkpp xyz rr rrrr rrr v p t r v r ijk xyz rrr pgradp 对于对于x方方向向有有 类似地类似地 在在y z方方向向有有和 于于是是三个三个方方向向
12、的方程的方程可以可以写写在一个在一个方程中方程中 即即 其中是质点的是质点的振振动动速度速度 为为纳纳不不拉拉 Nabla 算符算符 劈形算符劈形算符 表示表示标标量量函函数数p的的梯梯度度 三维运动方程三维运动方程 x dvp dtx dv p dt r 进行线性化处理后可得 0 t v p r 三维运动方程 一维运动方程 三维连续性方程三维连续性方程 x v xt y v yt z v zt y xz v vv xyzt v t r g y xz v vv vdivv xyz rr gv r 对于对于x方方向向有有 类似地类似地 在在y z方方向向有有和和 将将三个三个方方向向的方程的方程
13、写写在一个在一个方程中方程中 即即 其其中中表示表示的的散散度度 0 t v r g线性化线性化处处理理可得可得 中国石油大学 北京 测井研究中心乔文孝 矢量函数的散度矢量函数的散度 y xz v vv vdivv xyz rr g div g x xyzyxxyyzz z B A BAAABA BA BA B B r r gg 散散度度算符算符 只只能能作用于作用于矢矢量量 对一个对一个矢矢量的量的散散度运度运算算 相 相当当于于两两个个矢矢量的点量的点乘乘积积 运运算结果算结果是是一个一个标标量量 ijk xyz r rr xyz vv iv jv k rrr r 的的散散度度 v r 矢
14、矢量量 其其中中 三维波动方程三维波动方程 0 t v p r 三维运三维运动方程动方程 三维三维连续连续性方程性方程 0 t v r g 2 0 cp 物物态态方程方程 2 0 2 v tt r 对对连续连续性方程性方程求求时间导数时间导数 对对物物态态方程方程求求时间导数时间导数并代并代入 入 并考虑并考虑到到 2 pp g 于于是是可得小振幅可得小振幅声波声压声波声压p的的三维三维波动方程波动方程为为 2 2 22 0 1p p c t 为为直直角坐标角坐标系系里里的的拉普拉斯拉普拉斯 Laplace 算符算符 222 2 222 yzx 类似地类似地可得振速可得振速 密度密度变化量变化
15、量等等量的量的三维三维波动方程波动方程 2 2 22 0 1v v c t r r 2 2 22 0 1 c t 和和 速度场的性质 0 t v p r 由三维运由三维运动方程动方程 0 x vp tx 0 y v p ty 0 z vp tz x 00 y 00 z 00 1p p v dt dt xx 1p p v dt dt yy 1p p v dtdt zz 即即 所以所以 则有则有 0 yy xxzz vv vvvv 0 0 yxzxzy yy zxzx xyz vv vvvv rot 0 yzyzzxxy vvv ijk vvijk x rrr rrr rr 振速振速的的旋旋度为度
16、为零零 矢量函数的旋度矢量函数的旋度 rot xyzyzzyzxxzxyyx xyz ijk A BAAAA BA BiA BA BjA BA Bk BBB rrr rrrrr 为为旋旋度度算符算符 yy zxzx xyz vv vvvv rot yzyzzxxy vvv ijk vvijk x rrr rrr rr 它它只只能能作用于一个作用于一个矢矢量量 其运其运算结果算结果是是一个一个矢矢量量 对一个对一个矢矢量的量的旋旋度运度运算算 相 相当当于于两两个个矢矢量的量的叉乘叉乘积积 速度势 2 2 22 0 1 c t 由三维运由三维运动方程动方程 0 x vp tx 0 y v p ty 0 z vp tz x 00 y 00 z 00 1p p v dt dt xx 1p p v dt dt yy 1p p v dtdt zz 所以所以 0 p dt xyz vvv xyz gradv r 则有则有 令令 即即 质点的质点的振振动动速度可速度可表示表示成成一个一个标标量量函函数的数的负梯负梯度度 这这个个标标量量函函 数数 就就称称为速度为速度势势 可以可以证明证明 速度速度
