1-循环小数

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1、五年级春季 第 1 讲 循环小数 B 版 编者 谢蕊 1 循环小数1 预 习预 习 本讲内容本讲内容 认识循环小数及分类 分数与循环小数的互化 循环小数的计算 前铺知识前铺知识 分数加减 五年级暑假 分数巧算 五年级秋季 后续知识后续知识 分小四则混合运算 六年级暑假 五年级春季 第 1 讲 循环小数 B 版 2 一 循环小数的产生 除不尽 余数出现周期 二 小数的分类 有限 纯循环 小数无限循环 无限混循环 无限不循环 无理数 三 分化小 方法 728 10 100 0 28 25100 分子分母 扩倍使分母为 四 小化分 1 有限小数 153 0 15 10020 2 循环小数 错位相减法

2、 23 0 23 99999 123 1 0 123 999000990 循环节 纯循环 整体非循环 混循环 五 循环小数的计算 1 加减法 列竖式或化分数 0 91 2 乘除法 化分数 版本区分 版本QAB 内容 周期问题 比较大小 循环小数化分数 循环小数加减法 周期问题 比较大小 错位相减法推导 循环小数化分数 循环小数加减法 周期问题 比较大小 错位相减法推导 循环小数化分数 循环小数加减法 循环小数乘除法 循环小数的表示 循环点 循环节 循环节长度 120 5 130 333 1 110 0909 五年级春季 第 1 讲 循环小数 B 版 3 循环小数初识循环小数初识 循环小数的认识

3、循环小数的认识 一个小数的小数部分从某一位起 一个或几个数字依次不断重复出现 这样的小数叫做循环小 数 其中依次不断重复出现的数字叫循环节 循环节的位数即循环节长度 写循环小数时 可以只写第一个循环节 并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点 如 0 3330 3 读作 零点三 三循环 2 3434342 34 读作 二点三四 三四循环 5 16746746745 1674 读作 五点一六七四 六七四循环 铺垫 13 所得的小数 从小数点后第一位起连续 1000 位数字之和是多少 答案 3000 27 所得的小数 小数点后的第 65 位数字是 这 65 位的数字之和为 答案 1 293

4、分析 2 0 285714 7 6 个一循环 656105 所以第 65 位是 1 和为27 1023293 教学提示 神奇的循环小数 142857 又名走马灯数 传说它发现于埃及金字塔内 是一组神奇的数字 它 可以说明一个星期为什么有 7 天 从第一天开始每天增加自己的一倍 变成数字及相邻次序均不变的另 一个数 像走马灯一样 直到第七天 这几个数字全都去休息了 取而代之的是 999999 巧合的是 周易 之中也流行九九归一的说法 数字 9 亦被称为阳 即代表了一个物质阳气的终结 新一轮的周 期又要开始了 这种说法刚好和上述数字现象不谋而合 142857 1142857 原数字 1 0 142

5、857 7 1428572285714 轮值 2 0 285714 7 1428573428571 轮值 3 0 428571 7 1428574571428 轮值 4 0 571428 7 1428575714285 轮值 5 0 714285 7 1428576857142 轮值 6 0 857142 7 1428577999999 休息 142857 这组数中还有很多奇妙的规律 142857999 14285799 1845279 142857 14285720408122449 20408122449142857 五年级春季 第 1 讲 循环小数 B 版 4 注 7 0 90 9999

6、99 7 这个在后面会遇到 不建议老师在这里讲解 除了 7 以外 其它很多数做分母时的循环小数都有类似的特征 例如 13 的循环节是 076923 和 153846 两个 老师在讲解时可以给学生拓展 拓展 真分数 7 a 化为小数后 如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 2204 那么 a 是多少 答案 4 分析 2204278117 恰好是 82 个周期减去 10 只有 571428 的末两位能加出 10 可见4a 给 0 2016 加上循环点 把所有可能得到的循环小数从小到大用 连起来 答案 0 20160 20160 20160 2016 分析 最后一个 6 一定是循环节的

7、一部分 所以一共只有 4 种情况 补充 划去 0 571846293 的小数点后的 5 个数字 再添上表示循环节的两个圆点 得到的循环小数中最大的数 是 最小的数是 答案 0 8693 0 1293 循环小数和分数互化循环小数和分数互化 分数化小数 分数化小数 直接用分子除以分母即可 循环小数化分数 循环小数化分数 纯循环 0 999 abc abc 分母 9 的个数与循环节的位数相同 分子即循环节 混循环 0 99900 abcdeab abcde 分母 9 的个数与循环节位数相同 后面 0 的个数与非循环位数相同 分子即整体减非循环 以 0 1234为例 设0 1234A 将等式两边都乘

8、100 得 10012 34A 再将原等式两边都乘 100 得 100001234 34A 两式相减得 10000100123412AA 所以 123412611 99004950 A 五年级春季 第 1 讲 循环小数 B 版 5 铺垫 请将下列各组分数化成小数 1 1 5 3 25 7 80 2 5 9 2 11 10 37 3 5 6 1 12 29 110 答案 0 2 0 12 0 0875 0 5 0 18 0 270 0 83 0 083 0 263 仿照例子的形式填空 例 1 2 3 A0 12 100A12 12 100AA12 120 12 99A12 124 A 9933

9、4 0 12 33 A0 3 10A 10AA 9A A 0 3 A0 9 A0 12 A A A A 0 12 答案 A0 3 10A3 3 10AA3 30 3 9A3 1 A 3 1 0 3 3 A0 9 10A9 9 10AA9 90 9 9A9 A1 0 91 A0 12 10A1 2 100A12 2 100A10A12 2 1 2 90A121 12111 A 9090 11 0 12 90 教学提示 建议老师先通过例子给学生讲解错位相减法 本质是通过相减使循环部分抵消 然后再让学生 自己做本题 最后总结知识剖析中循环小数化分数的方法 关于第 2 问中推出的0 91 很多学生都会

10、有疑问 这一点老师要告诉学生0 9 是严格等于 1 的 这两个数大小完全相等 不存在约等于 近似值的情况 老师可以用例题的方式进行说明 也可以采用 其他证明方式 如 1 130 3 3 两边同时乘 3 得到 1 30 3310 9 3 或者可以简单一点 因为找不到任何数的大小介于0 9 到 1 之间 所以这两个数一定是相等的 其实所有以 9 的循环结尾的循环小数都可以写成有限小数 例如 0 1290 13 6 9496 95 利 用这一点也可以对循环小数的运算进行简化 这一点在第三模块中会提到 五年级春季 第 1 讲 循环小数 B 版 6 随堂练 将下列循环小数化为分数 1 0 4 2 2 4

11、7 3 0 109 4 0 083 5 0 54 6 0 032 7 0 102 8 0 4162 答案 4 9 47 2 99 109 999 83 990 49 90 29 900 101 990 4121 9900 教学提示 此处给出了 8 道不需要约分的转化练习 旨在让学生快速的熟悉转化方法 可口答 例题重现 将下列循环小数化为分数 1 0 7 2 0 81 3 1 216 4 0 86 5 0 51 6 5 409 答案 7 9 9 11 8 137 13 15 23 45 9 5 22 分析 1 7 0 7 9 2 819 0 81 9911 3 2168 1 21611 9993

12、7 4 86813 0 86 9015 5 51523 0 51 9045 6 40949 5 40955 99022 拓展 将下列循环小数化为分数 1 0 15 2 8 68 3 0 407 4 4 3861 5 0 15 6 0 427 7 0 2954 8 0 7612 答案 5 33 68 8 99 11 27 39 4101 7 45 47 110 13 44 169 222 分析 1 155 0 15 9933 2 68 8 688 99 3 40711 0 407 99927 4 386139 4 386144 9999101 5 151147 0 15 909045 6 427

13、442347 0 427 990990110 7 29542913 0 2954 990044 8 76127169 0 7612 9990222 循环小数计算循环小数计算 循环小数的加减运算 既可以用竖式直接运算 也可以先转换为分数 再利用分数运算 循环小数的乘除运算 必须先化为分数 利用分数运算 计算 1 0 30 3 2 0 690 03 3 0 10 20 30 40 5 五年级春季 第 1 讲 循环小数 B 版 7 答案 1 19 0 63 30 2 221 0 669 330 3 2 1 61 3 教学提示 循环小数加减法计算 一般可以直接用小数计算 计算结果不要求写成分数的 可以

14、不用化成 分数 第 3 题可以利用0 91 做简便运算 计算 1 0 10 010 001 2 0 10 010 001 答案 1 37 0 123 300 2 1343 0 122213 10989 分析 直接列竖式即可 拓展 计算 0 01 0 12 0 23 0 34 0 78 0 89 答案 2 4 分析 原式 0 010 78 0 120 230 34 0 890 80 70 92 4 1 11 0 63 14 2 1 0 220 28 13 答案 1 1 2 2 2 15 分析 1 117111 0 63 1411142 2 原式 227132 9134515 拓展 计算 1 0

15、6 1 42 2 13 5 63 11 49 31 答案 1 0 94 2 12 分析 1 614124794 0 6 1 420 94 99933399 2 1362443 5 63 11 4912 3111312 五年级春季 第 1 讲 循环小数 B 版 8 1 小数分类 小数分类 有限小数 纯循环小数 小数无限循环小数 无限小数混循环小数 无限不循环小数 2 循环小数化分数循环小数化分数 纯循环小数混循环小数 分子循环节小数点后的整体减去非循环部分 分母 由若干个 9 组成 循环节有 几位 就有几个 9 由若干个 9 和 0 组成 循环节有几位 就有 几个 9 非循环部分有几位 就有几个

16、 0 填空 2 0 2 9 13 0 13 99 41 0 124 330 1 67 所得的小数 小数点后的第 800 位数字是 这 800 位的数字之和为 答案 5 3604 分析 6 0 857142 7 80061332 所以第 800 位数字为 5 数字和为27 133133604 2 将下列循环小数化为分数 1 0 49 2 0 035 3 0 118 答案 1 49 99 2 8 225 3 13 110 3 计算 0 120 2 0 378 结果用带 分数表示 答案 14 199 分析 12237811314 0 120 0 11 99999999 2314 9 78 9 4 计算 19 1 2 1 24 27 结果用带 分数表示 答案 2 2 9 五年级春季 第 1 讲 循环小数 B 版 9 分析 原式 224191112319202 112 999279992799 1 一个长方体长宽高分别为 2 5 9 这个长方体的体积是 表面积是 答案 90 146 分析 体积为 25990 表面积为 25295 9 2146 2 求不定方程的所有正整数解 49110 xy 答案