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1、重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 5 1 5 1 刚体平动和定轴转动刚体平动和定轴转动 二 刚体运动的分类 平动 刚体中任意两质点连 线在运动过程中保持平行 的运动 称为平动 此类运动 任意两点的轨道形状 速度 加速度都相同 一 质点系力学性质的分类 刚体任意两质点间距离不变的质点系 称为刚体 变形体至少一对质点间距可变的质点系 称为变形体 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 刚体在运动过程中 能且只能在刚体上找到两 点保持不动 这种运动称 为定轴转动 定轴转动 转动 转动还包含以下几种特殊形式 定轴转动 定点转动 平面 平行运动等 刚体中至少
2、 任意 两质点连线在运动过程中方向变 化的运动 称为转动 Rigid bodyRotational theorem 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 定轴转动有以下特征 1 任意一点的运动轨道都是圆轨道 并且圆心是轨道面与 定轴的交点 2 所有质点的转动角速度都相同 线速度与该质点到定轴 的距离成正比 定轴转动定点转动 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 转动平面某质点所在的圆周平面 称为转动平面 三 刚体转动的角量描述 角位矢 角坐标 角位移 角速度 角加速度 以刚体上任一点为坐标原点 过该点垂直于转轴的 直线为 X 轴 转轴为 Z 轴 转动
3、平面内任一过转轴的直线 如选 x 轴 坐标系 参考线 转心 某质点所在的轨迹圆的圆心 称为转心 矢径某质点对其转心的位矢 称为该质点的矢径 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 1 角坐标 描写刚体转动位置的物理量 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 单位 弧度 rad 角坐标为标量 Reference line 角位矢的大小等于 角坐标 其方向由右手 螺旋法则确定 或规定 正方向 逆时针 后由 其值的正负确定 角坐标 显然 转动刚体内所有点有相同的角量 故用角量描述刚体 的转动更方便 只需确定转动平面内任一点的角量即可 重 大 数 理 学
4、 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 2 角位移 描写刚体位置变化的物理量 刚体初始角坐标 末态角坐标 刚体的角位移 单位 弧度 rad 角位移是赝矢量 对无 限小转动是矢量 时是矢量 角位移方向的确定方法同角位矢 Reference line 即 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 3 角速度 描写刚体转动快慢和方向的物理量 平均角速度 即 刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比 单位 弧度 秒 rad s s 1 转 分 rev min 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 角速度 用平均角速度代替变化的角速度 令取极限 即 角速度为角坐
5、标对时间的一次导数 方向 右手四指沿刚体转动方向 伸 直的大拇指的指向为角速度的方向 定轴转动的角速度方向只有两个 因此在 规定正方向 逆时针方向 后 角速度方 向可用其值的正负表示 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 4 角加速度 描写角速度变化快慢和方向的物理量 平均角加速度 即 刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比 角加速度 用平均角加速度代替变化的角加速度 令取极限 即 角速度对时间 t 的 一次导数 或角位矢对时 间 t 的二次导数 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 单位 弧度 秒2 rad s2 s 2方向 角速度变化的方向 角
6、加速度是矢量 但对于定轴转动角加速度的方向只有 两个 只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向 不必用矢量表示 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 一 力矩 力对转轴的力矩等于在转动平面内的分力 F 的大小和 F 与轴之间的垂直距离 d 的乘积 根据矢量乘积法则 用矢量方法表示力矩 5 2 5 2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 为外力在转动平面内的分矢量 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 M 的方向垂直于 r 与 F 构成的平面 规定正方向后 力矩 的方向可由正负号确定 容易证明 刚体内各质元间的内力力矩的矢量和恒为 0 单位 牛顿 米
7、 N m方向 从r右旋到F 大拇指指向 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 解 杆上各质元均受摩 擦力作用 但各质元受 的摩擦阻力矩不同 靠 近轴的质元受阻力矩小 远离轴的质元受阻力 矩大 细杆的质量密度 质元质量 质元受阻力矩 例 一匀质细杆 长为l 质量为m 在摩擦系数为m的水平桌 面上转动 求摩擦力的力矩 Mf 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 细杆受的阻力矩 由细杆质量 有 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 由牛顿运动定律推导 根据牛顿第二定律有 二 转动定律 切向 法向 为 质点作圆周运动的加速 度 其切向和
8、法向分量式为 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 外力矩 内力矩 由于法向力的作用线穿过转轴 其力矩为零 可在切向 方程两边乘以 得到 对所有质点求和 且它们的角加速度 均相同 有 合外力矩合内力矩 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 因为内力中任一对作用力和反作用力的力矩为零 所以 令 则 定轴转动定律 刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动 惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 瞬时性 即同一时刻对同一刚体 同一转轴而言 注意 与牛顿第二定律 相比较 地位
9、相当 在定轴转动中 和 的方向均在转轴方向 可用代 数量表示 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 三 解题方法及应用举例 1 确定研究对象 2 受力分析 并求外力的力矩 3 列方程求解 平动物体 牛顿第二定律或动量定理 转动刚体 转动定理 第一类问题 已知运动情况和J 确定运动学和动力学的联系 第二类问题 已知J和力矩M 求出运动情况和 b及 F 第三类问题 已知运动情况和力矩M 求刚体转动惯量 J 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 第一类问题 已知运动情况和 J 确定运动学和动力学的联 系 例 长为 l 质量为 m 的细杆 初始时的角速 度为
10、 o 由于细杆与 桌面的摩擦 经过时间 t 后杆静止 求摩擦力 矩 Mf 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 解 以细杆为研究对象 只有摩擦阻力产生力矩 由匀变速 转动公式 细杆绕一端的转动惯量 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 则摩擦阻力矩为 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 第二类问题 已知 J 和力矩 M 求出运动情况和b及F 例 质量为 m1 和 m2 两个 物体 跨在定滑轮上 m2 放 在光滑的桌面上 滑轮半径 为 R 质量为 M 求 m1 下落的加速度 和绳子的张 力 T1 T2 重 大 数 理 学 院 赵
11、 承 均 第一篇第一篇 力学力学 解 受力分析 以为研究对象 1 以为研究对象 2 以 为研究对象 3 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 补充方程 4 联立方程 1 4 讨论 当 M 0 时 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 第三类问题 已知运动情况和力矩 M 求未知刚体转动惯 量 J 例 测轮子的转动惯量用一 根轻绳缠绕在半径为 R 质 量为 M 的轮子上若干圈后 一端挂一质量为 m 的物体 从静止下落 h 用了时间 t 求轮子的转动惯量 J 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 分别以 m M 为研究对象 物体从静止
12、下落时满足 补充方程 联立方程 1 4 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 四 转动惯量 当切断电风扇的电源后 电风扇并 不是马上就停止转动 而是转动一段时 间后才停止转动 即转动的物体也有惯 性 刚体的转动惯性与什么有关呢 质点的平动动能为 刚体定轴转 动时 各质点作 圆周运动 刚体 的动能等于各质 点动能之和 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 与平动动能比较 则刚体的动能为 相当于描写转动惯性的物理量 单位 千克 米2 kg m2 上式只适用于离散质点 系的转动惯量计算 1 转动惯量 与刚体质量有关 与质量对轴的分布有关 与轴的位置有关 重
13、 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 对于质量连续分布的刚体 计算转动惯量时 将刚体分 割成无限多个质元 2 连续质点系转动惯量的计算 确定刚体的质量密度 建立坐标系 转心为 坐标原点 确定质量元 dm 由定义计算 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 例1 在无质轻杆的 b 处 3 b 处各系质量为 2 m 和 m 的 质点 可绕 o 轴转动 求 质点系的转动惯量 J 解 由转动惯量的定义 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 例2 长为 l 质量为 m 的匀质细杆 绕与杆垂直的质心轴 转动 求转动惯量 J 解 细杆为线质量分布
14、 单位长度的质量为 建立坐标系 原点选在质心 取质点 dm 长度为 dx 绕细杆质心垂轴 的转动惯量为 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 例3 长为 l 质量为 m 的匀质细杆 绕细杆一端转动 求转 动惯量J 解 细杆为线质量分布 单位长度的质量为 建立坐标系 坐标原点选在一端 取质点 dm 长度为 dx 绕细杆一端的 转动惯量为 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 例4 半径为 R 质量为 M 的圆环 绕垂直于圆环平面的质 心轴转动 求转动惯量 J 解 分割质点 dm 圆环上各质点到轴的距离相等 绕圆环质心轴 的转动惯量为 重 大 数 理 学
15、 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 例5 半径为 R 质量为 M 的圆盘 绕垂直于圆盘平面的质心 轴转动 求转动惯量 J 解 圆盘为面质量分布 单 位面积的质量为 取细圆环 半径为 r 宽为 dr 由圆环的转动惯量公式 则圆环质量 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 由 则圆盘的转动惯量为 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 薄圆盘转轴通过中心 与盘面垂直 圆筒转轴沿几何轴 3 典型的几种刚体的转动惯量 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 圆柱体转轴沿几何轴 圆柱体转轴通过中心 与几何轴垂直 重 大 数 理 学 院
16、赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 细棒转轴通过中心 与棒垂直 细棒转轴通过端点 与棒垂直 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 球体转轴沿直径球壳转轴沿直径 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 4 平行轴定理 平行轴定理 刚体绕平行于质心轴的转动惯量J 等于绕质心 轴的转动惯量 JC 加上体质量与两轴间的距离平方的乘积 刚体绕质心轴的转 动惯量最小 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 例1 再以绕长为 l 质量为 m 的匀质细杆 绕细杆一端轴转 动为例 利用平行轴定理计算转动惯量 J 解 绕细杆质心的转动惯量为 绕杆的一端转动惯量为 结果与前相同 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 例2 半径为 R 质量为 M 的圆盘 绕垂直于圆盘平面的边缘 轴转动 求转动惯量 J 解 绕圆盘质心轴的转 动惯量为 由 重 大 数 理 学 院 赵 承 均 第一篇第一篇 力学力学 5 垂直轴定理 垂直轴定理 质量平面分布的刚体 绕垂直于平面轴的转动 惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和 定理证明 对于平面刚体
