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1、专题突破练(5)立体几何的综合问题一、选择题1已知直线a平面,直线b平面,则“ab”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案D解析“ab”不能得出“”,反之由“”也得不出“ab”故选D2如图,三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,A1AAB2,BC1,AC,若规定正视方向垂直平面ACC1A1,则此三棱柱的侧视图的面积为()A B2C4 D2答案A解析在ABC中,AC2AB2BC25,ABBC作BDAC于D,则BD为侧视图的宽,且BD,侧视图的面积为S2故选A3平行六面体ABCDA1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A3
2、 B4 C5 D6答案C解析如图,既与AB共面也与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共5条故选C4在四边形ABCD中,ABADCD1,BD,BDCD将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD平面BCD,则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为答案B解析ABAD1,BD,ABADABAD平面ABD平面BCD,CDBD,CD平面ABD,CDAB,AB平面ACD,ABAC,即BAC90故选B5(2018河南豫东、豫北十校测试)鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插
3、器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,原为木质结构,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经90度榫卯起来,若正四棱柱体的高为4,底面正方形的边长为1,则该鲁班锁的表面积为 ()A48 B60 C72 D84答案B解析复杂的图形表面积可以用三视图投影的方法计算求得;如图所示:投影面积为421210,共有6个投影面积,所以该几何体的表面积为10660故选B6如图所示,已知在多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两垂直,平面ABC平面DEFG,平面BEF平面ADGC,ABADDG2,ACEF1,则该多面体的体积为()A2 B
4、4 C6 D8答案B解析如图所示,将多面体补成棱长为2的正方体,那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半,于是所求几何体的体积为V234故选B7(2018湖北黄冈中学二模)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为2的等边三角形,俯视图是半圆(如图)现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点,则蚂蚁所经过路程的最小值为()A BC D2答案B解析由三视图可知,该几何体是半圆锥,其展开图如图所示,则依题意,点A,M的最短距离,即为线段AMPAPB2,半圆锥的底面半圆的弧长为,展开图中的BPM,APB,APM,在APM中,根据余弦定理有,MA22222222cos84()2
5、,MA,即蚂蚁所经过路程的最小值为故选B8已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,表面积的最大值是()A22R2 BR2 CR2 DR2答案B解析如图所示,为组合体的轴截面,记BO1的长度为x,由相似三角形的比例关系,得,则PO13x,圆柱的高为3R3x,所以圆柱的表面积为S2x22x(3R3x)4x26Rx,则当xR时,S取最大值,SmaxR2故选B9如图,在四棱锥PABCD中,ABAD,BCAD,PAAD4,ABBC2,PA平面ABCD,点E是线段AB的中点,点F在线段PA上,且EF平面PCD,平面CEF与直线PD交于点H,若点A,B,C,H都在球O的表面上,则球O的半径为
6、()A1 B C D答案D解析如图,取PD的中点H,PA的中点G,则GHBC,GHBC,所以四边形BCHG是平行四边形因为EF平面PCD,设平面PAB与平面PCD相交于直线m,则EFm,CHBGm,所以EFBGCH,所以点H就是平面CEF与直线PD的交点取AD的中点M,则球O就是直三棱柱ABGMCH的外接球,球心O是两底面外接圆圆心连线的中点直三棱柱ABGMCH的高BC2,底面ABG的外接圆的半径为BG,所以球O的半径R故选D10(2018河北唐山第一次摸底)在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2AA1,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为()A B C D答案B解析在长方体ABC
7、DA1B1C1D1中,连接A1D,可得A1DB1C,所以异面直线A1B与B1C所成的角即为直线A1B与直线A1D所成的角,即DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角,在长方体ABCDA1B1C1D1中,设ABBC2AA12,则A1BA1D,BD2,在A1BD中,由余弦定理得cosDA1B故选B11在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC边的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,则满足的实数的值有()A0个 B1个 C2个 D3个答案C解析本题可以转化为在MN上找点Q使OQ綊PD1,可知只
8、有Q点与M,N重合时满足条件故选C12(2019四川第一次诊断)如图,在RtABC中,ACB90,AC1,BCx(x0),D是斜边AB的中点,将BCD沿直线CD翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得CBAD,则x的取值范围是()A,2 B,2C(0,2) D(0,答案D解析由题意得,ADCDBD,BCx,取BC中点E,翻折前,在图1中,连接DE,CD,则DEAC,翻折后,在图2中,此时CBADBCDE,BCAD,BC平面ADE,BCAE,又E为BC中点,ABAC1,AE,AD,在ADE中:,5(舍去),当x(0,2)时,V0,即在(0,2)上,V(x)是增函数;当x(2,5),V0,即在(2,
9、5)上,V(x)是减函数,所以当x2时,V(x)有最大值为144三、解答题17(2018湖北八市联考)如图,在RtABC中,ABBC3,点E,F分别在线段AB,AC上,且EFBC,将AEF沿EF折起到PEF的位置,使得二面角PEFB的大小为60(1)求证:EFPB;(2)当点E为线段AB靠近B点的三等分点时,求直线PC与平面PEF所成角的正弦值解(1)证明:ABBC3,BCAB,EFBC,EFAB,翻折后垂直关系没变,有EFPE,EFBE,且PEBEE,EF平面PBE,EFPB(2)EFPE,EFBE,PEB是二面角PEFB的平面角,PEB60,又PE2,BE1,由余弦定理得PB,PB2EB2
10、PE2,PBEB,PB,BC,EB两两垂直以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BE所在直线为y轴,BP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,),C(3,0,0),E(0,1,0),F(2,1,0),(0,1,),(2,1,),设平面PEF的法向量为n(x,y,z),由即令y,则z1,x0,可得n(0,1),又(3,0,),sin故直线PC与平面PEF所成角的正弦值为18(2019广东华南师大附中综合测试)在五面体ABCDEF中,ABCDEF,ADCD,DCF60,CDEFCF2AB2AD2,平面CDEF平面ABCD(1)证明:直线CE平面ADF;(2)已知P为棱BC上的点,试确定P点位置,使二面角PDFA的大小为60解(1)证明:CDEF,CDEFCF2四边