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1、【课时训练】第21节正弦定理、余弦定理一、选择题1(2018山西晋中一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2a2bc,A,则角C()A.BC或D或【答案】B【解析】在ABC中,由余弦定理得cos A,即,所以b2c2a2bc.又b2a2bc,所以c2bcbc,即c(1)bb,则ab,所以cos C,解得C.故选B.2(2018湖南娄底二模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b2c2a2bc,且ba,则下列关系一定不成立的是()AacBbcC2ac Da2b2c2【答案】B【解析】由余弦定理,得cos A,则A30.又ba,由正弦定理得sin Bsin As
2、in 30,所以B60或120.当B60时,ABC为直角三角形,且2ac,可知C,D成立;当B120时,C30,所以AC,即ac,可知A成立故选B.3(2018太原模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A60,b1,SABC,则c()A1B2C3D4【答案】D【解析】SABCbcsin A,1c,c4.4(2018武汉调研)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若cos A,则ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形【答案】A【解析】根据正弦定理得cos A,即sin Csin Bcos A,ABC,sin Csin(AB)sin Bcos
3、A,整理得sin Acos B0.又在三角形中sin A0,cos B0,B.ABC为钝角三角形5(2018广西来宾一模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a,b3,c2,则A()A.BCD【答案】C【解析】cos A,且A,A.故选C.6(2018江苏泰州调研)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a2b2c2)tan Cab,则角C的大小为()A.或B或C.D【答案】A【解析】由题意知,cos C,sin C.又C(0,),C或.故选A.7(2018南京模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2b2bc,sin C2sin B,则A()
4、A150B120C60D30【答案】D【解析】由a2b2bc,得sin2Asin2Bsin Bsin C,sin C2sin B,sin Asin B,c2b,ab,由余弦定理得cosA,A30.故选D.8(2018安徽池州一模)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知bc,a22b2(1sin A),则A()A.BCD【答案】C【解析】bc,BC.又由ABC得B.由正弦定理及a22b2(1sin A)得sin2A2sin2B(1sin A),即sin2A2sin2(1sin A),即sin2A2cos2(1sin A),即4sin2cos22cos2(1sin A),整理得cos2
5、0,即cos2(cos Asin A)0.0A,0,cos0,cos Asin A又0A,A.二、填空题9(2018江西九校联考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a1,b,则SABC_.【答案】 【解析】因为角A,B,C依次成等差数列,所以B60.由正弦定理,得,解得sin A.因为0A180,所以A30或150(舍去),此时C90,所以SABCab.10(2018山西名校联考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b2c22a2,则cos A的最小值为_【答案】 【解析】因为b2c22a2,则由余弦定理可得a22bccos A,
6、所以cos A(当且仅当bc时等号成立),即cos A的最小值为.三、解答题11(2018河北衡水模拟)如图,在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acos Abcos Cccos B.(1)求角A的大小;(2)若点D在边AC上,且BD是ABC的平分线,AB2,BC4,求AD的长【解】(1)由题意及正弦定理得2sin Acos Asin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin Asin A0,cos A.A(0,),A.(2)在ABC中,由余弦定理得,BC2AB2AC22ABACcos A,即164AC22AC,解得AC1,或AC1(负值,舍去)BD是ABC的平
7、分线,AB2,BC4,ADAC.12(2019武汉武昌区调研)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2Bcos B1cos Acos C.(1)求证:a,b,c成等比数列;(2)若b2,求ABC的面积的最大值【解】(1)在ABC中,cos Bcos(AC)由已知,得(1sin2B)cos(AC)1cos Acos C,sin2B(cos Acos Csin Asin C)cos Acos C,化简,得sin2Bsin Asin C.由正弦定理,得b2ac,a,b,c成等比数列(2)由(1)及题设条件,得ac4.则cos B,当且仅当ac时,等号成立0B,sin B.SABCacsin B4.ABC的面积的最大值为.