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1、 .抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义:对于定义域内的每一个,都存在非零常数,使得恒成立,则称函数具有周期性,叫做的一个周期,则()也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最小正周期。分段函数的周期:设
2、是周期函数,在任意一个周期内的图像为C:。把个单位即按向量在其他周期的图像:。2、奇偶函数:设若若。分段函数的奇偶性3、函数的对称性:(1)中心对称即点对称:点 (2)轴对称:对称轴方程为:。关于直线函数关于直线成轴对称。关于直线成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论(一)函数图象本身的对称性(自身对称)若,则具有周期性;若,则具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。1、 图象关于直线对称推论1: 的图象关于直线对称推论2、 的图象关于直线对称推论3、 的图象关于直线对称2、 的图象关于点对称推论1、 的图象关于点对称推论2、 的图象关于点对称推论3、 的图象关于点对称(二)两个函数的
3、图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数与图象关于Y轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于X轴对称4、互为反函数与函数图象关于直线对称5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与 图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称 (三)抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1 若函数yf(x)关于直线xa轴对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(ax)f(ax) (2)f(2ax)f(x) (3)f(2ax)f(x)性质2 若函数yf(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价:(1)f(ax)
4、f(ax)(2)f(2ax)f(x)(3)f(2ax)f(x)易知,yf(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、 若对于定义域内的任一变量x,均有fg(x)fg(x),则复数函数yfg(x)为偶函数。定义2、 若对于定义域内的任一变量x,均有fg(x)fg(x),则复合函数yfg(x)为奇函数。说明:(1)复数函数fg(x)为偶函数,则fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x),复合函数yfg(x)为奇函数,则fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)。(2)两个特例:yf(xa)为偶函数,则f(xa)f(xa);yf(xa)为奇函数,则f
5、(xa)f(ax)(3)yf(xa)为偶(或奇)函数,等价于单层函数yf(x)关于直线xa轴对称(或关于点(a,0)中心对称)3、复合函数的对称性性质3复合函数yf(ax)与yf(bx)关于直线x(ba)/2轴对称性质4、复合函数yf(ax)与yf(bx)关于点(ba)/2,0)中心对称推论1、 复合函数yf(ax)与yf(ax)关于y轴轴对称推论2、 复合函数yf(ax)与yf(ax)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数,若对于函数yf(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数yf(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x)f(x
6、a)1/f(x) f(xa)1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5 若函数yf(x)同时关于直线xa与xb轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T2|ab|性质6、若函数yf(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T2|ab|性质7、若函数yf(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线xb轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T4|ab| 6、函数对称性的应用 (1)若,即 (2)例题 1、; 2、奇函数的图像关于原点(0,0)对称:。 3、若的图像关于直线对称。设.(四)常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、( ) 的周期为,()也是函
7、数的周期2、 的周期为3、 的周期为4、 的周期为5、 的周期为6、 的周期为7、 的周期为8、 的周期为9、 的周期为10、若11、有两条对称轴和 周期推论:偶函数满足 周期12、有两个对称中心和 周期推论:奇函数满足 周期13、有一条对称轴和一个对称中心的四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性,可巧妙的解答某些数学问题,它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值例1.(1996年高考题)设是上的奇函数,当时,则等于(-0.5)(A)0.5; (B)-0.5; (C)1.5; (D)-1.5.例2(198
8、9年北京市中学生数学竞赛题)已知是定义在实数集上的函数,且,求的值.。2、比较函数值大小例3.若是以2为周期的偶函数,当时,试比较、的大小.解:是以2为周期的偶函数,又在上是增函数,且,3、求函数解析式例4.(1989年高考题)设是定义在区间上且以2为周期的函数,对,用表示区间已知当时,求在上的解析式.解:设时,有 是以2 为周期的函数,.例5设是定义在上以2为周期的周期函数,且是偶函数,在区间上,求时,的解析式.解:当,即,又是以2为周期的周期函数,于是当,即时,4、判断函数奇偶性例6.已知的周期为4,且等式对任意均成立,判断函数的奇偶性.解:由的周期为4,得,由得,故为偶函数.5、确定函数
9、图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足, 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.解:由题设知函数图象关于直线和对称,又由函数的性质得是以10为周期的函数.在一个周期区间上,故图象与轴至少有2个交点.而区间有6个周期,故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.6、在数列中的应用例8.在数列中,求数列的通项公式,并计算分析:此题的思路与例2思路类似.解:令则不难用归纳法证明数列的通项为:,且以4为周期.于是有1,5,9 1997是以4为公差的等差数列,由得总项数为500项,7、在二项式中的应用例9.今天是星期三,试求今天后的第天是星期几?分析:转化为二项式的展开式后,利用一周为七天这个循环数
10、来进行计算即可.解:因为展开式中前92项中均有7这个因子,最后一项为1,即为余数,故天为星期四.8、复数中的应用例10.(上海市1994年高考题)设,则满足等式且大于1的正整数中最小的是(A) 3 ; (B)4 ; (C)6 ; (D)7.分析:运用方幂的周期性求值即可.解:,9、解“立几”题例11.ABCD是单位长方体,黑白二蚁都从点A出发,沿棱向前爬行,每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则:所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线(其中.设黑白二蚁走完第1990段后,各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是(A)1; (B);(C)
11、; (D)0.解:依条件列出白蚁的路线立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知:黑白二蚁走完六段后必回到起点,可以判断每六段是一个周期.1990=6,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置,不难计算出在走完四段后黑蚁在点,白蚁在C点,故所求距离是例题与应用例1:f(x) 是R上的奇函数f(x)= f(x+4) ,x0,2时f(x)=x,求f(2007) 的值 例2:已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x),f(1)=2,求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2例3:已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)
12、= f(4-x),且当时,f(x)=2x+1,则当时求f(x)的解析式例4:已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+999)=,f(999+x)=f(999x), 试判断函数f(x)的奇偶性.例5:已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)= f(4-x),且当时,f(x)是减函数,求证当时f(x)为增函数例6:f(x)满足f(x) =-f(6-x),f(x)= f(2-x),若f(a) =-f(2000),a5,9且f(x)在5,9上单调.求a的值. 例7:已知f(x)是定义在R上的函数,f(x)= f(4x),f(7+x)= f(7x),f(0)=0,求在区间1000,1000上f(
13、x)=0至少有几个根? 解:依题意f(x)关于x=2,x=7对称,类比命题2(2)可知f(x)的一个周期是10 故f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在区间(0,10上,方程f(x)=0至少两个根 又f(x)是周期为10的函数,每个周期上至少有两个根, 因此方程f(x)=0在区间1000,1000上至少有1+=401个根.例1、 函数yf(x)是定义在实数集R上的函数,那么yf(x4)与yf(6x)的图象之间(D )A关于直线x5对称 B关于直线x1对称C关于点(5,0)对称 D关于点(1,0)对称解:据复合函数的对称性知函数yf(x4)与yf(6x)之间关于点(64)/2,0)即(1,0)中心对称,故选D。(原卷错选为C)例2、 设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于x1对称,证明f(x)是周期函数。(2001年理工类第22题)例3、 设f(x)是(,)上的奇函数,f(x2)f(x),当0x1时f(x)x,则f(7.5)等于(-0.5)(1996年理工类第15题)例4、 设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(10x)f(10x),f(20x)f(20x),则f(x)是(C )A偶函数,又是周期函数 B偶函数,但不是周期函数C奇函数,又是周期函数 D奇函数,但不是周期函数六、巩固练习1、函数yf(x)