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1、2018-2019学年北师大附中高一下学期期末数学试题一、单选题1直线的倾斜角为（ ）ABCD【答案】C【解析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角.【详解】由题意知，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：C.【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的求法，属于基础题.2在中，若，则（ ）A，B，C，D，【答案】A【解析】利用正弦定理列出关系式，把与代入得出与的关系式，再与已知等式联立求出即可.【详解】在中，由正弦定理得：，即，联立解得：.故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题.3已知，为直线，为平面，下列命题正确的是（ ）A若，则B若
2、，则与为异面直线C若，则D若，则【答案】D【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.【详解】由，为直线，为平面，知：在A中，若，则与相交、平行或异面，故A错误；在B中，若，则与相交、平行或异面，故B错误；在C中，若，则与相交、平行或异面，故C错误；在D中，若，则由线面垂直、面面平行的性质定理得，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于基础题.4在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h
3、120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A30辆B1700辆C170辆D300辆【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆.【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为，估计辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（辆），故选B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点
4、横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.5“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.【详解】由题意，当时，两条直线分别化为：，此时两条直线相互垂直；当时，两条直线分别化为：，此时两条直线不垂直，舍去；当且时，由两条直线相互垂直，则，即，解得或；综上可得：或，两条直线相互垂直，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计
5、算能力，属于基础题.6向正方形ABCD内任投一点P，则“的面积大于正方形ABCD面积的”的概率是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，求出满足题意的点所在区域的面积，利用面积比求概率.【详解】由题意，设正方形的边长为1，则正方形的面积为1，要使的面积大于正方形面积的，需要到的距离大于，即点所在区域面积为，由几何概型得，的面积大于正方形面积的的概率为.故选：C.【点睛】本题考查几何概型的概率求法，解题的关键是明确概率模型，属于基础题.7某四棱锥的三视图如图所示，则它的最长侧棱的长为（ ）ABCD4【答案】C【解析】由三视图可知：底面，底面是一个直角梯形，均为直角三角形，判断最长的棱，通过几何体
6、求解即可.【详解】由三视图可知：该几何体如图所示， 则底面，底面是一个直角梯形，其中，可得，均为直角三角形，最长的棱是，.故选：C.【点睛】本题考查了三视图，线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8在中，点P是直线BN上一点，若，则实数m的值是（ ）A2BCD【答案】B【解析】根据向量的加减运算法则，通过，把用和表示出来，即可得到的值.【详解】在中，点是直线上一点，所以，又三点共线，所以，即.故选：B.【点睛】本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用，属于基础题.二、填空题9已知直线与直线互相平行，则_.【答案】【解析】由两直线平行得，解
7、出值.【详解】由直线与直线互相平行，得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题.10已知向量，则与的夹角是_.【答案】【解析】利用向量的数量积直接求出向量的夹角即可.【详解】由题知，因为，所以与的夹角为.故答案为：.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求解向量的夹角，属于基础题.11直线与圆的位置关系是_.【答案】相交【解析】由直线系方程可得直线过定点，进而可得点在圆内部，即可得到位置关系.【详解】化直线方程为，令，解得，所以直线过定点，又圆的圆心坐标为，半径，而，所以点在圆内部，故直线与圆的位置关系是相交.故答案为：相
8、交.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判断，考查直线系方程的应用，属于基础题.12在九章算术商功中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（bi no），在如下图所示的鳖臑中，则的直角顶点为_.【答案】【解析】根据，可得平面，进而可得，再由，证明平面，即可得出，是的直角顶点.【详解】在三棱锥中，且，平面，又平面，又，且，平面，又平面，的直角顶点为.故答案为：.【点睛】本题考查了直线与直线以及直线与平面垂直的应用问题，属于基础题.13已知直线l与圆C：交于A，B两点，则满足条件的一条直线l的方程为_.【答案】（答案不唯一）【解析】确定圆心到直线的距离，即可求直线的方程.【详解】由题意得圆心坐标，半
9、径，圆心到直线的距离为，满足条件的一条直线的方程为.故答案为：（答案不唯一）.【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题.14如图，在正方体中，点P是上底面（含边界）内一动点，则三棱锥的主视图与俯视图的面积之比的最小值为_.【答案】【解析】设正方体的棱长为，求出三棱锥的主视图面积为定值，当与重合时，三棱锥的俯视图面积最大，此时主视图与俯视图面积比值最小.【详解】设正方体的棱长为，则三棱锥的主视图是底面边为，高为的三角形，其面积为，当与重合时，三棱锥的俯视图为正方形，其面积最大，最大值为，所以，三棱锥的主视图与俯视图面积比的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了空间几
10、何体的三视图面积计算应用问题，属于基础题.三、解答题15如图，在中，. （）求AB；（）求AD.【答案】（）（）【解析】（）利用余弦定理，解得的长；（）利用正弦定理得，计算得，再利用为直角三角形，进而可计算的长.【详解】（）在中，由余弦定理有，即，解得或（舍），所以.（）由（）得，在中，由正弦定理有，得，所以，又，则为直角三角形，所以，即，故.【点睛】本题考查余弦定理和正弦定理的简单应用，属于基础题.16在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AB，中点.（）求证：平面；（）求证：四边形为平行四边形；（）求证：平面平面.【答案】（）见解析（）见解析（）见解析【解析】（）只需证明，即可得平面；（）可
11、得四边形为平行四边形，即可得四边形为平行四边形；（）易得平面，即可得平面平面.【详解】（）平面，又，而，平面.（）、分别为、的中点，即四边形为平行四边形，四边形为平行四边形.（），为中点，又，且，平面，而平面，平面平面.【点睛】本题考查了空间点、线、面位置关系，属于基础题.17甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：（）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分；（）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率；（）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的
12、两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由.【答案】（）（）（）见解析【解析】（）由茎叶图中的数据计算、，进而可得平均分的估计值；（）求出基本事件数，计算所求的概率值；（）答案不唯一.从平均数与方差考虑，派甲参赛比较合适；从成绩优秀情况分析，派乙参赛比较合适.【详解】（）由茎叶图中的数据，计算，由样本估计总体得，甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分分别均约为分.（）从甲、乙两名同学高于分的成绩中各选一个成绩，基本事件是，甲、乙两名同学成绩都在分以上的基本事件为，故所求的概率为.（）答案不唯一.派甲参赛比较合适，理由如下：由（）知，因为，所有甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适；
13、派乙参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得分以上（含分）的频率为，乙获得分以上（含分）的频率为，因为，所有派乙参赛比较合适.【点睛】本题考查了利用茎叶图计算平均数与方差的应用问题，属于基础题.18已知四棱锥的底面ABCD是菱形，平面ABCD，F，G分别为PD，BC中点，. （）求证：平面PAB；（）求三棱锥的体积；（）求证：OP与AB不垂直.【答案】（）见解析（）（）见解析【解析】（）连接，由已知结合三角形中位线定理可得平面，再由面面平行的判断可得平面平面，进而可得平面；（）首先证明平面，而为的中点，然后利用等积法求三棱锥的体积；（）直接利用反证法证明与不垂直.【详解】（）如图，连接， 是中点，是中点，而平面，平面，平面，又是中点，是中点，而平面，平面，平面，又平面平面，即平面.（）底面，又四边形为菱形，又，平面，而为的中点，.（）假设，又，且，平面，则，与矛盾，假设错误，故与不垂直.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用反证法证明线线垂直问题，训练了利用等积法求解多面体的体积，属于中档题19已知圆A：，圆B：.（）求经过圆A与圆B的圆心的直线方程；（）已知直线l：，设圆心A关于直线l的对称点为，点C在直线l上，当的面积为14时，求点C的
