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1、1 2 35 其可控性矩阵的秩为n1 n n为x的维数 系统不可控 但可分解出n1维的可控子系统 有以下定理 定理2 17对动态方程 2 35 存在可逆线性变换 将系统化为下列形式 设系统动态方程为 2 6线性时不变系统的规范分解 一 动态方程按可控性分解 2 其中n1维子方程 是可控的 且与 2 35 式的系统有相同的传递函数矩阵 2 36 2 37 3 讨论 不可控状态不出现在系统的传递函数阵中 这进一步说明了作为输入输出描述的传递函数矩阵不能完全反映系统内部信息 它至多可反映可控的部分 由 2 36 式 系统的零状态响应为 4 这说明 不可控制振型所对应的全部模式 包含在 之中 与控制作
2、用无耦合关系 这是为什么称不可控振型为系统的输入解耦零点 p 49 的原因 5 定理的证明 下面将说明变换矩阵的构造方法 首先列写出 2 35 的可控性矩阵U 其秩为n1 从U中选取n1个线性无关的列向量 作为变换阵的逆矩阵的前n1列 再补充n n1个n维的列向量 得到 6 7 8 例题 设系统方程为 试进行可控性分解 证完 9 解1 计算可控性矩阵 2 现取其中的第1 2列 再补充一个与它们线性无关的列向量 显然它和选自可控阵的那二列形成一个线性无关组 因此 10 再利用变换 可将原系统的动态方程变换为 其中二维方程 是可控的 由这个例子也可以看出 由于基底的选择有多种可能 故在基底下的矩阵
3、表示是不同的 11 是可控的 且与原系统有相同的传递函数矩阵 12 2 36 式的系统方块图如图2 5所示 由图中可见 控制输入不能直接改变也不能通过影响间接改变 故这一部分状态分量是不受输入影响的 它是系统中的不可控部分 而可控性分解将可控和不可控部分以显然的形式表示出来了 13 二 动态方程按可观测性分解 2 35 设系统动态方程为 定理2 18对动态方程 2 35 其可观测性矩阵的秩为n2 n 则存在等价变换 将系统化为下列形式 2 38 14 其中n2维子方程 2 39 是可观测的 且与原系统有相同的传递函数矩阵 15 讨论 不可观状态不出现在系统的传递函数阵中 这也进一步说明了作为输
4、入输出描述的传递函数矩阵不能完全反映系统内部信息 它至多可反映可观的部分 由系统 2 38 的零输入响应 可知 输出中只反映了系统中可观测的模态所对应的运动模式 结合习题2 14 16 定理2 18的结论可以用以下方法求得 1 用对偶定理2 9和定理2 17 2 直接证明 这可以分成两种方法 a 直接构造基底矩阵P 1的方法 b 直接构造基底矩阵P的方法 a 直接构造基底矩阵P 1的方法 因为可观测性矩阵的秩为n2 所以不可观测子空间 是 n n2 维的子空间 基底选择可在 中取n n2个线性无关向量 17 采取和定理2 17的证明完全类似的方法便可证得定理2 18 线性无关 由这n个向量构成
5、状态空间的基底 令 b 直接取坐标变换阵P的方法 因为可观性矩阵的秩为n2 故可在可观性矩阵 再取另外n2个线性无关向量 使得向量组 18 中取出n2个线性无关的行向量 设为 再补充n n2线性无关的行向量 构造 19 20 此时考虑 有 21 可观性分解式如下图所示 考虑 有 22 由图中可见 输出y不能直接反映也不能通过间接反映 故这一部分状态分量是输出不能反映的 它是系统中的不可观部分 23 结论综合动态方程按可控性分解和按可观性分解的结果 可知传递函数不能反映系统中不可控的部分 也不能反映系统中不可观的部分 而只能反映系统中可控又可观的部分 因此 动态方程不是既可控又可观时 传递函数的
6、描述方式就不如动态方程的描述更加符合系统的实际情况 24 定理2 19设动态方程 2 35 的可控性矩阵的秩为n1 n1 n 可观测性矩阵的n2 n2 n 则存在一个等价变换 可将方程 2 35 变换为 2 40 为了同时体现出系统的可控性和可观测性的结构性质 有如下的标准分解定理 三 标准分解定理 25 而且子动态方程 2 41 是可控可观测的 2 41 与原系统有相同的传递函数矩阵 即 26 2 按以下顺序分别定义子空间X1 X2 X3和X4为 证明 按以下步骤 27 讨论 28 由 1 2 我们有 29 30 31 32 经过等价变换后得到的动态方程 2 40 可用图2 8表示 33 图
7、中虚线上部表示了子方程 2 41 它是系统 2 40 中可控 可观测的部分 在虚线以下的其它部分或者是可观测 不可控的 只有信号输出 没有信号输入 或者是可控 不可观测的 只有信号输入 没有信号输出 或者是不可控 不可观测 既无信号输出 又无信号输入 的部分 定理2 19说明 若一个线性时不变系统不可控 不可观测时 必存在一个等价变换 将系统分成如图2 8的四个部分 这就是所谓线性时不变系统的标准结构分解 34 定理2 19表明 动态方程的传递函数矩阵仅仅取决于方程的可控 可观测的部分 换句话说 传递函数矩阵 输入 输出描述 仅仅描述了系统的可控 可观测部分的特性 这是输入 输出描述和状态变量
8、描述之间最重要的关系 输入 输出描述 传递函数的描述 在某些时候之所以不能够完全描述系统 其原因就在于系统中的不可控或不可观测部分不出现在传递函数中 这些不出现的传递函数矩阵中的部分其状态行为不可避免地要影响系统的稳定性和品质 这是我们在系统设计中要特别注意的 35 例2 19设单输入单输出系统动态方程如下 现根据前述定义 求出空间X1 X2 X3 X4中向量的一般形式 并选取等价变换 将方程化为标准分解的形式 36 37 38 39 有 40 41 42 43 需要特别指出的是 从上面的计算过程可以看出 由于基底的选取不唯一 因此变换后的矩阵形式是不唯一的 44 由定理2 17和定理2 18
9、可以看出 若线性时不变动态方程不可控或不可观测 则存在与原方程有相同传递函数矩阵而维数较低的方程 换言之 若线性时不变动态方程不可控或不可观测 则其维数可以降低 而且降低了维数的方程仍具有与原方程相同的传递函数矩阵 定义2 11称线性时不变动态方程是可以简约的 当且仅当存在一个与之零状态等价且维数较低的线性时不变动态方程 否则 则称动态方程是不可简约的 不可简约的动态方程又称为最小阶动态方程 四 不可简约的动态方程 45 复习 定义 零状态等价 两个时不变动态系统称为是零状态等价的 当且仅当它们具有相同的脉冲响应矩阵或相同的传递函数阵 46 定理2 20线性时不变动态方程是不可简约的充分必要条
10、件是该动方程是可控且可观测的 证明 充分性 设动态方程 2 43 只要证明若 2 43 A B C D 可控可观测 则 2 43 为不可简约 反证法 设n维动态方程 2 43 可控且可观测 但存在一个维数为n1 n的线性时不变动态方程 1 不可简约动态方程的充分必要条件 47 与 A B C D 零状态等价 于是 由零状态等价的定义 对于 0 中所有的t 即有 2 45 2 44 现考虑乘积 2 46 48 根据 2 45 用代替上式中的 得 因为 A B C D 可控可观测 根据Sylvester不等式 这和的秩最多是n1矛盾 矛盾表明 若 A B C D 是可控可观测的 则 A B C D
11、 必是不可简约的 有rankVU n 于是 49 必要性 反证法 设 A B C 是不可简约的 但 A B C 是不可控或不可观测的 则根据定理2 17 或2 18 存在一个与之零状态等价而维数较低的系统 这说明系统是可简约的 矛盾 证完 2 同一G s 不可简约动态方程实现之间的关系 定理2 21设动态方程是q p正则有理矩阵的不可简约实现 则也是的不可简约实现 必要且只要和等价 也即存在一个非奇异常量矩阵P 使得 50 证明 充分性 若 A B C D 为G之不可简约实现且两个系统等价 则 51 必要性 设U和V是的可控性和可观测性矩阵 和是的可控性和可观测性矩阵 若和是同一的不可简约的实现 因此它们零状态等价 则由 2 45 和 2 46 且 2 47 2 48 分以下步骤证明 因为V列满秩 U行满秩 故它们的伪逆存在且 52 由 2 47 故 2 令 则由逆矩阵的唯一性 2 49 53 3 证明矩阵 可得 就是等价变换矩阵 为此 由 2 49 即 54 55 以上证明过程是构造性的 2 49 式给出了等价变换矩阵的求法 证完 最后 56 关于伪逆
