《2020年中考数学专题复习第二十三讲：圆的有关概念及性质(含详细参考答案).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年中考数学专题复习第二十三讲：圆的有关概念及性质(含详细参考答案).doc（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2020年中考数学专题复习第二十三讲 圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、 圆的定义及性质：1、 圆的定义： 形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦，弦不一定是锥】2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类3、圆的对称性： 轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴 中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【
2、名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、 垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系： 1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角 2、定理：在 中，两个圆心角、两条
3、弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、 圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是 2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、 圆内接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多
4、边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角 【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】考点一：垂径定理例1 （2019绍兴）如图，AD为O的直径，作O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交O于B，C两点，2、连接AB，AC，ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交O于B，C两点2、连接AB，BC，CAABC即为所求的三角形对于甲、乙两人的作法，可判断（）A甲、乙均正确B甲、乙均错误C甲正确、乙错误D甲错误，乙正确考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形专题：计算题分析：由甲的思路画出相应的图形，连接OB，
5、由BC为OD的垂直平分线，得到OE=DE，且BC与OD垂直，可得出OE为OD的一半，即为OB的一半，在直角三角形BOE中，根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30，得到OBE为30，利用直角三角形的两锐角互余得到BOE为60，再由BOE为三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角性质得到ABO也为30，可得出ABC为60，同理得到ACB也为60，利用三角形的内角和定理得到BAC为60，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形；由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD三边相等，即为等边三角形，的长
6、BOE=DBO=60，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出OBE为30，又BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到ABO也为30，可得出ABC为60，同理得到ACB也为60，利用三角形的内角和定理得到BAC为60，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确解答：解：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB，BC垂直平分OD，E为OD的中点，且ODBC，OE=DE=OD，又OB=OD，在RtOBE中，OE=OB，OBE=30，又OEB=90，BOE=60，OA=OB，OAB=OBA，又BOE为AOB的外角
7、，OAB=OBA=30，ABC=ABO+OBE=60，同理C=60，BAC=60，ABC=BAC=C，ABC为等边三角形，故甲作法正确；根据乙的思路，作图如下：连接OB，BD，OD=BD，OD=OB，OD=BD=OB，BOD为等边三角形，OBD=BOD=60，又BC垂直平分OD，OM=DM，BM为OBD的平分线，OBM=DBM=30，又OA=OB，且BOD为AOB的外角，BAO=ABO=30，ABC=ABO+OBM=60，同理ACB=60，BAC=60，ABC=ACB=BAC，ABC为等边三角形，故乙作法正确，故选A点评：此题考查了垂径定理，等边三角形的判定，含30直角三角形的判定，三角形的外
8、角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及判定是解本题的关键对应训练1（2019哈尔滨）如图，O是ABC的外接圆，B=60，OPAC于点P，OP=2，则O的半径为（）A4 B6 C8 D12考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理专题：计算题分析：由B的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出AOC的度数，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形的内角和定理求出OAC=30，又OP垂直于AC，得到三角形AOP为直角三角形，利用30所对的直角边等于斜边的一半，根据OP的长得出OA的长，即为圆O的半径解答：解：圆心角AOC与圆周角B所对的弧都为，且B=60，
9、AOC=2B=120，又OA=OC，OAC=OCA=30，OPAC，AOP=90，在RtAOP中，OP=2，OAC=30，OA=2OP=4，则圆O的半径4故选A点评：此题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及含30直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键考点二：圆周角定理例2 （2019青海）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点N，点M在O上，1=C（1）求证：CBMD；（2）若BC=4，sinM= ，求O的直径考点：圆周角定理；垂径定理；解直角三角形分析：（1）由C与M是 所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得C=M，又由1=C，易得1=M
10、，即可判定CBMD；（2）首先连接AC，AB为O的直径，可得ACB=90，又由弦CDAB，根据垂径定理的即可求得= ，继而可得A=M，又由BC=4，sinM= ，即可求得O的直径解答：（1）证明：C与M是所对的圆周角，C=M，又1=C，1=M，CBMD；（2）解：连接AC，AB为O的直径，ACB=90，又CDAB，= ，A=M，sinA=sinM，在RtACB中，sinA=，sinM=，BC=4，AB=6，即O的直径为6点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用对应训练37（2019沈阳）如图，O是ABC的外接
11、圆，AB是O的直径，D为O上一点，ODAC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分ABC；（2）当ODB=30时，求证：BC=OD考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理专题：证明题分析：（1）由ODAC OD为半径，根据垂径定理，即可得 ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分ABC；（2）首先由OB=OD，易求得AOD的度数，又由ODAC于E，可求得A的度数，然后由AB是O的直径，根据圆周角定理，可得ACB=90，继而可证得BC=OD解答：证明：（1）ODAC OD为半径，CBD=ABD，BD平分ABC；（2）OB=OD，OBD=0DB=30，AOD=O
12、BD+ODB=30+30=60，又ODAC于E，OEA=90，A=180-OEA-AOD=180-90-60=30，又AB为O的直径，ACB=90，在RtACB中，BC=AB，OD=AB，BC=OD点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用考点三：圆内接四边形的性质例3 （2019深圳）如图，C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内 上一点，BMO=120，则C的半径长为（）A6 B5 C3 D3 考点：圆内接四边形的性质；坐标与图形性质；含30度角的直角三角形专题：探究型分析：先根据圆内接四边
13、形的性质求出OAB的度数，由圆周角定理可知AOB=90，故可得出ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论解答：解：四边形ABMO是圆内接四边形，BMO=120，BAO=60，AB是O的直径，AOB=90，ABO=90-BAO=90-60=30，点A的坐标为（0，3），OA=3，AB=2OA=6，C的半径长=3故选C点评：本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键对应训练3（2011肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若BAD=105，则DCE的大小是（）A115 Bl05 C100 D95考点：圆内接四边形的性质专题：计算题分析：根据圆内接四边形的对角互补得到BAD+BCD=180，
