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1、 泛函分析论文泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。1 度量空间1.1 定义：若是一个非空集合，是满足下面条件的实值函数，对于，有（1）当且仅当；（2）；（3），则称为上的度量，称为度量空间。【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式）其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过
2、度量空间的进一步例子来感受。1.2 度量空间的进一步例子例：1、离散的度量空间，设是一个非空集合，当。2、序列空间 ，是度量空间3、有界函数全体 ，是度量空间4、连续函数，是度量空间5、空间，是度量空间1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果是中点列，如果，使，则称点列是中的收敛点列，x是点列的极限。同样的类似于，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。1.3.2稠密子集与可分空间:设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令,那么称集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。即：1.3.3 例子1、 n维
3、欧氏空间是可分空间；2、 坐标为有理数的全体是的可数稠密子集；3、 是不可分空间。1.4 连续映射1.4.1定义：设1.4.2 证明映射连续性的方法1、 定义法2、 邻域法：对的每一个邻域U,必有的某个邻域V使, 其中表示V在映射T作用下的像。3、 极限观点（定理一）：4、 定理二:度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射 Y中任意开集M 的原像是X中的开集。5、 定理二（变式）：把“开集”改为“闭集”，定理二仍成立。1.4.3 例题例1、 设X,Y,Z为三个度量空间，是X到Y中的连续映射，是Y到Z的连续映射，证明复合映射是X到Z的连续映射。证明：设G是Z中开集，因g是Y到Z的连续映射, 是Y中
4、开集，又因是X到Y中的连续映射，是X中的开集，即是X中的开集，即连续。【分析】此题就是利用定理二来证明的。1.5 柯西点列和完备度量空间1.5.1 定义：设是度量空间，是X中点列，如果对，正整数,使当时，必有，则称是X中的柯西点列，如果度量空间中每个点列都在中收敛，那么称是完备的度量空间。1.5.2 相关结论1、全体按绝对值距离构成的空间不完备2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列3、柯西点列一定是有界点列4、定理：完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭子空间。（即完备性关于闭子空间具有可遗传性）【注意】开子空间不完备。例：1、是完备度量空间； 2
5、、是完备度量空间；3、是完备的度量空间；4、实系数多项式全体，作为的子空间不是完备度量空间；1.6 度量空间的完备化定理1 （度量空间的完备化定理）：设是度量空间，那么一定存在一完备度量空间，使与的某个稠密子空间等距同构，并且在等距同构意义下是唯一的，即若也是一万倍度量空间，且与的某个稠密空间等距同构，则与等距同构。（其中：若，称与等距同构。）定理1可以通过图形象表达W稠密V稠密定理 ：设是度量空间，那么存在唯一的完备空间，使为的稠密子空间。1.7压缩映射原理及其应用1.7.1定义：设是度量空间，是到中的映射，如果，则称是压缩映射。1.7.2定理1（压缩映射定理）设是完备的度量空间，是上的压缩
6、映射，那么有且只有一个不动点（就是说，方程，有且只有一个解）。定理2（隐函数存在定理）设函数在带状域 中处处连续，且处处有关于的偏导数。如果常数和，满足，则方程在区间上必有唯一的连续函数作为解：1.8 线性空间1.8.1定义：设是一非空集合，在中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3），均有，满足这样性质的集合称为线性空间。例：1、按自身定义的加法和数乘成线性空间2、按自身定义的加法和数乘成线性空间3、空间按自身定义的加法和数乘成线性空间2 赋范线性空间
7、2.1赋范线性空间和巴拿赫空间2.1.1定义：设是实（或复）的线性空间，如果对，都有确定的一个实数，记为与之对应，并且满足：，且等价于；（非负性）其中为任意实（复）数；，（三角不等式）则称为向量的范数，称按范数成为赋范线性空间。注意：1、是的连续函数2、2.2重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 X是赋范线性空间，且是柯西点列。2、要判断一个空间是否为巴拿赫空间，有三点：（1）是否为线性空间 （2）是否为赋范线性空间 （3）是否完备3、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。（即拓扑同构范数等价）4、定理1： 按范数成赋范线性空间。定
8、理2：是巴拿赫空间。例题：1、按范数成巴拿赫空间2、空间按范数成巴拿赫空间3、空间是巴拿赫空间 区别与联系： 1、任意赋范线性空间都是度量空间 2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。第八章 有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和线性泛函的定义1.1定义：设和是两个同为实（或复）的线性空间，是的线性子空间，为到中的映射，如果对及数，有，则称为到中的线性算子，其称为的定义域，记为，称为的值域，记为，当取值于实（或复）数域时，就称为实（或复）线性泛函。例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子【值得一提】1、在有限维空间上，当基选定后，线性算子与矩阵是相
9、对应的；2、n维线性空间上线性泛函与数组（向量）相对应。定义：为赋范线性空间的子空间到赋范线性空间中的线性算子，称为算子在上的范数。定理1： 设是赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则为有界算子的充分必要条件是为上的连续算子。这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。定理2 ：设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么是上连续泛函的充要条件为的零空间是中的闭子空间。相关结论：1、若有界 2、3、若有界 2 有界线性算子空间和共轭空间定义：1、有界算子全体：设X和Y是两个赋范线性空间，我们以表示由X到Y中有界线性算子。2、共轭空间：设是赋范线性空间，令表示上连续线性泛函全体所成的空间
10、，称为的共轭空间。定理1 当是巴拿赫空间时，也是巴拿赫空间定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间相关结论：1、的共轭空间为有界序列全体，即，但2、且则其中连续3、设，令，则为线性算子4、的共轭空间为，其中，当 时，6、X是赋范线性空间，则总结：在第七章中，我们只研究一个赋范线性空间X，而在第八章中，就开始研究从一个赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映射算子，并对两个赋范线性空间构成的有界线性算子全体进行线性运算（加法运算及数乘运算），同样构成赋范线性空间，并使得巴拿赫空间的知识进一步拓展到了有界线性算子全体。总而言之，第七章和第八章的完成了“两大空间“的学习度量空间和赋范线性空间
11、的学习。应用篇泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究发展起来的。它综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数算子和极限理论。泛函分析在数学物理方程等分科中都有应用。线性空间X 上的全体有界线性泛函称为X 的共轭空间. 现以函数为例,说明共轭空间的重要性. 设想在无限长的细棒上有一质量分布，只集中在一点处，总质量为1个，也就是说，有一假象密度函数 ，当时，在处，密度为无限大，而密度函数的积分为总质量1：，这种函数已超出通常函数概念的框架。函数是由物理学家狄拉克(Dirac)最先引进的,其表示式是这样表示的函数与数学命题 , 则矛盾,
12、因此函数的上述表示一直不能被数学家接受.数学家经过长期的努力,在共轭空间中找到了函数的位置和理论依据.我们来看数学家是怎样定义 函数的.对C - 1, 1中任意一个连续函数,对应一个C - 1, 1 的泛函 线性性是显然的,现证其连续性.对任意的 C - 1, 1 ,有 ，故在 点连续.由 的任意性知, 在C - 1, 1上连续.考察C - 1, 1中的如下函数列 : ，设想的极限函数应当就是有广泛应用的 函数, 所以称为的函数序列。但由于在t= 0时, 不收敛,故不能采用 来作为函数的数学定义.在C - 1, 1的共轭空间来考察. 函数序列对应于, 即在C - 1, 1的共轭空间中, 的极限
13、函数(记为 ( t ) )应是C - 1, 1上的如下泛函:因此在泛函分析的共轭空间的帮助下, 函数有了严格的数学定义，这一点在原空间是不可能做到. 在定义了 函数后，我们就可以用 函数来描述很多物理现象,例如力学中瞬时发生作用力的冲击力;数字信号处理中的抽样脉冲;直线上质量集中在一点附近时的密度;电学中点电荷的密度等.参 考 文 献 1 程其襄,张奠宙, 闫革兴, 等. 实变函数与泛函分析基础M .北京:高等教育出版社, 1983. 2 Daube Chies I.小波十讲M .李建平,杨万年译. 北京: 国防工业出版社, 2004. 3 石智,王军秋.泛函分析初步M .西安:陕西科学技术出版社, 2005. 4 龚怀云,寿纪麟, 王绵森, 等. 应用泛函分析 M .西安:西安交通大学出版社, 1985.5 石智,王军秋.结合小波理论讲授泛函分析课程J .大学数学，2009.
