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1、九年级期末测试专题 数学试题 备战系列试题 考点探究 证明 二 2011 温州 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 创制了一副 弦图 后人称其为 赵爽弦图 如图1 图2由弦图变化得到 它是由八个全等的直角三角形拼接而成 记 图中正方形ABCD 正方形EFGH 正方形MNKT的面积分别为S1 S2 S3 若 S1 S2 S3 10 则S2的值是 2011 重庆綦江 一个正方体物体沿斜坡向下滑动 其截面如图所示 正方形DEFH的 边长为2米 坡角 A 30 B 90 BC 6米 当正方形DEFH运动到什么位置 即当 AE 多少米时 有DC2 AE2 BC2 2010 吉林 2011 山东枣庄 将一
2、幅三角尺如图所示叠放在一起 若AB 14cm 则 阴影部分的面积是多少cm2 提示 由于BC DE 那么 ACF也是等腰直角三角形 欲求其面积 必须先求出直角边 AC的长 Rt ABC中 已知斜边AB及 B的度数 易求得AC的长 进而可根据三角形面 积的计算方法求出阴影部分的面积 2011 乐山 如图 1 在直角 ABC中 ACB 90 CD AB 垂足为D 点E在 AC上 BE交CD于点G EF BE交AB于点F 若AC mBC CE nEA m n为实数 试探究线段EF与EG的数量关系 考点回顾 一元二次方程 2011 台湾改编 如图 将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等
3、的小正 方形 若灰色长方形之长与宽的比为5 3 则AD AB 可设灰色长方形的长是5x 宽是3x 因为将长方形 ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正 方形 可表示出灰色长方形的长和宽 进而求出大长 方形的长和宽 从而可求解 解答 解 设灰色长方形的长是5x 宽是3x 2 5x 3x 4 148 x 9 5x 45 3x 27 AD 45 2 47 AB 27 2 29 AD AB 47 29 点评 本题考查理解题意能力 关键是看到灰色长方 形的周长和148个小正方形的关系 以及灰色长方形 的边长和大长方形的边长的关系 2011 潍坊 已知线段AB的长为a 以AB为边在AB的下方
4、作正方形ACDB 取AB边上 一点E 以AE为边在AB的上方作正方形AENM 过E作EF丄CD 垂足为F点 若正方形 AENM与四边形EFDB的面积相等 則AE的长为多少 2011 常州 某商店以6元 千克的价格购进某种干果1140千克 并对其进行筛选分成甲 级干果与乙级干果后同时开始销售 这批干果销售结束后 店主从销售统计中发出 甲级 干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量 且在同一天卖完 甲级干果从开始销售至销 售的第x天的总销量y1 千克 与x的关系为y1 x2 40 x 乙级干果从开始销售至销售的 第t天的总销量y2 千克 与t的关系为y2 at2 bt 且乙级干果的前三天的销售量的情
5、况见 下表 考点探究 证明 三 2011 成都 如图 已知线段AB CD AD与BC相交于点K E是线段AD上一 动点 1 若BK 5 2KC 求 CD AB的值 2 连接BE 若BE平分 ABC 则当AE 1 2AD时 猜想线段AB BC CD 三者之间有怎样的等量关系 请写出你的结论并予以证明 再探究 当AE 1 由已知得 CK BK 2 5 由CD AB可证 KCD KBA 利用 CD AB CK BK求值 2 AB BC CD 作 ABD的中位线 由中位线定理得EF AB CD 可知G 为BC的中点 由平行线及角平分线性质 得 GEB EBA GBE 则 EG BG 12BC 而GF
6、1 2CD EF 12AB 利用EF EG GF求线段AB BC CD三者之间的数量关系 当AE 1 nAD n 2 时 EG BG 1 nBC 而GF 1 nCD EF n 1n AB EF EG GF可得BC CD n 1 AB 1 nAD n 2 而其余条件不变时 线 段AB BC CD三者之间又有怎样的等 量关系 请直接写出你的结论 不必证 明 本题考查了平行线的性质 三角形中位线定理 相似三角形的判定 与性质 角平分线的性质 关键是构造平行线 由特殊到一般探索 规律 2011 泰安 如图 点O是 矩形ABCD的中心 E是AB上 的点 沿CE折叠后 点B恰好 与点O重合 若BC 3 则
7、折 痕CE的长为 2011 德州 图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形 菱形边长为等边 三角形边长的一半 以此为基本单位 可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形 如图2 依此规律继续拼下去 如图3 则第n个图形的周长是 2011 泰安 如图 边长为6的大正方形中有两个小正方形 若两个小正方形的面积分别 为S1 S2 则S1 S2的值为 2011 衢州 衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜 如图为一农村民居侧面截 图 屋坡AF AG分别架在墙体的点B 点C处 且AB AC 侧面四边形BDEC为矩形 若 测得 FAG 110 则 FBD 根据已知 FAG的度数 在 ABC中根据等边
8、对等角求出角ABC的度数 再根据矩形的性 质可知矩形的每个内角都为90 这样就得出了角DBC的度数 最后观察图形可知 ABC DBC和 FBD构成一个平角 再根据平角的定义即可求出 FDB的度数 此题考查了等腰三角形的性质 以及矩形的性质 同时考查学 生数形结合的数学思想 多观 察图形 发现题中隐藏的条件 2011 重庆 如图 正方形ABCD中 AB 6 点E在边CD上 且CD 3DE 将 ADE沿 AE对折至 AFE 延长EF交边BC于点G 连接AG CF 下列结论 ABG AFG BG GC AG CF S FGC 3 其中正确结论的个数是 根据翻折变换的性质和正方形的性质可证 ABG A
9、FG 在直角 ECG中 根据勾股定理可证BG GC 通过证 明 AGB AGF GFC GCF 由平行线的判定可得 AG CF 由于S FGC S GCE S FEC 求得面积比 较即可 解 正确 因为AB AD AF AG AG B AFG 90 ABG AFG 正确 因为 EF DE 1 3CD 2 设 BG FG x 则CG 6 x 在直角 ECG中 根 据勾股定理 得 6 x 2 42 x 2 2 解得 x 3 所以BG 3 6 3 GC 正确 因为CG BG GF 所以 FGC是等腰三角形 GFC GCF 又 AGB AGF AGB AGF 180 FGC GFC GCF AGB A
10、GF GFC GCF AG CF 本题综合性较强 考查了翻折变换的性质和正方形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 平行线的判定 三角 形的面积计算 有一定的难度 2011 温州 如图 在矩形ABCD中 对角线AC BD交与点O 已知 AOB 60 AC 16 则图中长度为8的线段有 2011 重庆江津区 如图 四边形ABCD中 AC a BD b 且AC丄BD 顺次连接四边 形ABCD 各边中点 得到四边形A1B1C1D1 再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点 得 到四边形A2B2C2D2 如此进行下去 得到四边形AnBnCnDn 下列结论正确的有 四边形A2B2C2D2是矩形 四边
11、形A4B4C4D4是菱形 四边形A5B5C5D5的周长是 a b4 四边形AnBnCnDn的面积是 ab2n 1 本题主要考查了菱形的判定与性质 矩形的判定与性质及三角形的中位线定理 三角形的 中位线平行于第三边且等于第三边的一半 解答此题时 需理清菱形 矩形与平行四边 形的关系 2011 兰州 如图 依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形 再依次连接菱形各 边的中点得到第二个矩形 按照此方法继续下去 已知第一个矩形的面积为1 则第n个矩 形的面积为多少 本题是一道找规律的题目 这类题型在 中考中经常出现 对于找规律的题目首 先应找出哪些部分发生了变化 是按照 什么规律变化的 2011 益阳
12、 如图是小红设计的钻石形商标 ABC是边长为2的等边三角形 四边形 ACDE是等腰梯形 AC ED EAC 60 AE 1 1 证明 ABE CBD 2 图中存在多对相似三角形 请你找出一对进行证明 并求出其相似比 不添加辅助 线 不找全等的相似三角形 3 小红发现AM MN NC 请证明此结论 4 求线段BD的长 1 由 ABC是等边三角形 得AB BC BAC BCA 60 由四边形ACDE是等腰梯形 得AE CD ACD CAE 60 利用 SAS 判定 ABE CBD 2 存在 可利用AB CD或AE BC得出相似三角形 4 作DF BC交BC的延长线于F 在Rt CDF中 由 CDF
13、 30 CD AE 1 可求CF DF 在Rt BDF中 由勾 股定理求BD 1 证明 ABC是等边三角形 AB BC BAC BCA 60 1分 四边形ACDE是等腰梯形 EAC 60 AE CD ACD CAE 60 BAC CAE 120 BCA ACD 即 BAE BCD 2分 在 ABE和 BCD中 AB BC BAE BCD AE CD ABE CBD 3分 2011 凉山州 已知菱形ABCD的边长是8 点E在直线AD上 若DE 3 连接BE与对角 线AC相交于点M 则 MC AM的值是多少 首先根据题意作图 注意分为E在线 段AD上与E在AD的延长线上 然后 由菱形的性质可得AD
14、 BC 则可证 得 MAE MCB 根据相似三角 形的对应边成比例即可求得答案 此题考查了菱形的性质 相似三角形的判定 与性质等知识 解题的关键是注意此题分为E 在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况 小心不要漏解 2011 福州 已知 矩形ABCD中 AB 4cm BC 8cm AC的垂直平分线EF 分别交AD BC于点E F 垂足为O 1 如图1 连接AF CE 求证四边形AFCE为菱形 并求AF的长 2 如图2 动点P Q分别从A C两点同时出发 沿 AFB和 CDE各边匀速 运动一周 即点P自A F B A停止 点Q自C D E C停止 在运动过程中 已知点P的速度为每秒5cm 点Q
15、的速度为每秒4cm 运动时间为t秒 当A C P Q四点为顶点的四边形是平行四边形时 求t的值 若点P Q的运动路程分别为a b 单位 cm ab 0 已知A C P Q四 点为顶点的四边形是平行四边形 求a与b满足的数量关系式 2011 嘉兴 以四边形ABCD的边AB BC CD DA为斜边分别向外侧作等腰 直角三角形 直角顶点分别为E F G H 顺次连接这四个点 得四边形 EFGH 1 如图1 当四边形ABCD为正方形时 我们发现四边形EFGH是正方形 如 图2 当四边形ABCD为矩形时 请判断 四边形EFGH的形状 不要求证明 2 如图3 当四边形ABCD为一般平行四边形时 设 ADC
16、 0 90 试用含 的代数式表示 HAE 求证 HE HG 四边形EFGH是什么四边形 并说明理由 2011 威海 如图 ABCD是一张矩形纸片 AD BC 1 AB CD 5 在矩形 ABCD的边AB上取一点M 在CD上取一点N 将纸片沿MN折叠 使MB与DN交 于点K 得到 MNK 1 若 1 70 求 MKN的度数 2 MNK的面积能否小于 1 2 若能 求出此时 1的度数 若不能 试说明 理由 3 如何折叠能够使 MNK的面积最大 请你用备用图探究可能出现的情况 求最大值 2011 兰州 2008 厦门 已知 如图所示的一张矩形纸片ABCD AD AB 将纸片折叠一次 使点A与点C重合 再展开 折痕EF交AD边于点E 交BC 边于点F 分别连接AF和CE 1 求证 四边形AFCE是菱形 2 若AE 10cm ABF的面积为 24cm2 求 ABF的周长 3 在线段AC上是否存在一点P 使 得2AE2 AC AP 若存在 请说明点P 的位置 并予以证明 若不存在 请说 明理由 1 连接EF交AC于O 当顶点A与C重合时 折痕EF垂直平分AC 可得OA OC AOE COF 90
