图像变换的不变性和偏微分方程应用

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1、图像变换的不变性 和偏微分方程应用 讨论具有单调和对比不变的图像变换 即形态学 算子 基本思想是用具有一定形态的结构元素去 量度和提取图像中的对应形状以达到对图像的分 析和识别的目的 其基本元算有四个 膨胀 腐 蚀 开启 闭合 重点介绍 膨胀 腐蚀和中 值算子 然后依次赋予形态学算子平移不变性 欧氏不变性和仿射不变性 并讨论它们的微分性 质 导出相关的偏微分方程 6 1 形态学算子 单调和对比不变的图像变换 6 1 1 定义 前面学过连续模型下图像空间的定义 是一族由 R2 R的特殊函数组成的函数空间 并记为F 图像 变换T是作用在F 上的一个算子 即T将一副图像u变 换为另一幅图像Tu 图像

2、水平集之间的变换 是对于F 中所有函数 Y表 示在F 所拥有的所有水平集 即 Y clu u F l 0 1 这是一个由R2的子集组成的集合族 对于图像变换T 引进算子T 作用在Y上 它将一个 水平集X转换为另一个水平集T X 即 T X Y T X Y 定义1 称图像变换T是单调递增的 如果对于任意两 两幅图像u v F u v Tu Tv 集合算子T 是单调递增的 如果对于任意X Y Y X Y T X T Y 定义2 图像变换T是对比不变的 如果对每一个 连续对比变换g 对任意的u F 都满足g u F 和 g Tu T g u 同时满足单调性和对比不变的图像变换被称为形 态学算子 可以

3、证明 线性算子是单调的 但不是对比不变 的 例1 最大值滤波是对比不变的 最大值滤波定义 其中B是包含原点的闭集 x B x z z B 假设 由于x B为闭集 z x B 满足u z a 而 u y u z y x B 又因为对比变换g是单调递增的 所以 g u y g u z g a y x B 即 对图像g u 满足对比不变定义 D gu x g a g Du x 对比不变的图像变换有一特殊性质 即变换的结果使 图像保留了原图像的部分灰度 一副二值图像在经过 对比不变图像变换后还是一副二值图像 但线性滤波 器都不具备这一特性 下面定理说明了这一性质 记R u 为图像u的值域 即 R u

4、s 0 1 x u x s 其中 Ru是包含R u 的最小闭集 定理1 T是一对比不变的图像变换 那么对每一副 图像u R Tu Ru 特别的 如果图像u只有有限 个灰度值 则Tu只取其中的部分灰度值 证明 考虑一连续单调递增函数g 满足g s s 当 s Ru时 否则 g s s 定义 g s s d s Ru 2 其中d s X 表示s到X距离 当且仅当 s Ru时 有 d s Ru 0 因此 当且仅当s Ru时 g s s 所以 g u u 因为T是对比不变的 所以 Tu T g u g Tu 因此 Tu x Ru 定义3 一个图像变换T是灰度平移不变的 如果对任 意的常数C 有 T u

5、 C Tu C 如果图像变换T同时具有灰度平移不变性和对比不变 性 就得到下面的结论 定理2 T是一个单调灰度平移不变算子 如果u x 是R2上的Lipschitz函数 那么Tu x 也是Lipschitz函 数 并且Tu x 的Lipschitz常数比u x 的Lipschitz常 数小 Lipschitz常数定义 如果函数u满足 u x u y k x y x y 则u为Lipschitz函数 k为u的Lipschitz常数 证明 假设u的Lipschitz常数为K 对任意的x y z有 u x z u y z K x y u y z K x y u x z u y z K x y 因为T

6、单调 考虑上面关于z的函数 有 T u y z K x y Tu x z T u y z K x y 注意到取 z 0 有 T u y z Tu y 用T的灰度平移不变性 将K x y 看做C 得 Tu y K x y Tu x Tu y K x y Tu x Tu y K x y 6 1 2 从形态学算子到集合算子 记集合X W上的特征函数为1x 即 1x也被认为是一个图像函数 即1x F 借助特征函数 可从单调 对比不变的图像变换 形 态学算子 T衍生出一个集合变换T 定义4 令T是一个单调 对比不变的图像变换 定义 T的伴随集合算子T 为 X W 1X F T X c1 T 1X 另外

7、T F F T W W 如果T作为函数是单调的 那么T 作为集合变换也是 单调的 因为 X Y 1X 1Y T作为单调的图像变换 使单调性得以保持 T 1X T 1Y 定理3 T是一个对比不变的单调算子 阈值函数gl s 定义为 如果s l 则 gl s 1 否则gl s 0 那么T 几乎处处和每一个阈值函数相交换 即 gl Tu T gl u 对l x几乎处处成立 证明 定义 则 gel s 是对比变换 连续 单调递增的 且 gel s gl 于是 同样的方法 用不减函数 g el gl 可证明 T gl u g l Tu 其中 g l s 1 当s l 时 g l s 0 当 s l时 因

8、此 有 gl Tu T gl u g l Tu 我们考虑可数因而可忽略的子集 R 所有的l 满足 meas x Tu x l 0 对于l R 有 g l Tu gl Tu 几乎处处成立 这样对几乎每一个l 会得到 T gl u gl Tu 几乎处处成立 定理4 T是定义在图像函数集合F 上的单调对比不 变算子 1x F T的伴随集合算子为T 则T 是单 调的 并且 u F 有 T clu cl T u 对l c几乎处处成立 并且 Tu x sup l x T clu 对x几乎处处成立 另外 T F F T W W 几乎处处成立 式说明图像变换后的水平集是原图像水平集 并且是 同一个 l 在伴随

9、集合算子作用下的结果 T F F 说明当l 1时 式成立 T W W 说明当l 0时 式成立 这里涉及到水平集和最大值表示公式 cl u x W u x l u x sup l x cl u 证明 根据T 的定义 显然有 1c lu gl u c1 gl v clv 并且T和gl几乎处处可交换 由定理3 得到 T clu c1 T 1c lu c1 T gl u c1 gl Tu cl Tu 对于x l 0 几乎处处成立 由 T clu cl Tu 知 T clu 是Tu的水平集 那么显然 式成立 令u是一个常函数0 对于l 0 有clu F 利用 式 有 cl Tu T clu T F 对

10、l 0几乎处处成立 而且 由于对比不变算子T和常函数0相交换 因此 Tu 0 并且对 l 0 cl Tu F 则有 T F F几乎处处成立 同理可证 T W W 定理说明 如果图像变换T是单调且对比不变的 那 么计算Tu可以通过一下算法实现 1 计算u的所有水平集 cl u l 0 1 2 对每一个水平集 cl u 用T的伴随集合算子T 作用 得到 T cl u 3 用最大值表示公式得到Tu 整个过程如下 这种算法适用于T难以实现 而T 容易计算的情况 6 1 3 从集合算子到形态学算子 考虑 给定一个单调的集合算子T 是否可以得到一个 对比不变的单调图像变换呢 自然的思路就是令 Tu x s

11、up l x T clu 定理5 令T 是一个Y Y单调算子 满足 T F F T W W 那么 可以定义图像变换 Tu x sup l x T clu 对于所有的l 满足 cl Tu T cl u 则对几乎所有的 l R g Tu T g u 证明 对每一个l 我们有 cl Tu T cl u 即对 R中的所有l满足meas R 0 注意到u v当且仅当 clu clv 对R的一个稠密可数 子集合上的所有l 可得T是单调的 cl Tu T cl u T cl v cl Tv Tu Tv 下面证明 T和对比变换相交换 假设g是严格增加的 设 和 对于 l g 有 clg u F 因此 T cl

12、g u F 对于 l g 有 clg u RN 因此 T clg u RN T g u x sup l g l g x T clg u sup g m x T cgg u sup g m x T cmu g Tu x 下面验证T和一般的不减对比变换g相交换 严格增加连续函数gn和hn满足 gn s g s hn s g s 对所有的s和gn g hn 因此由上面结论有 T g u T gn u gn Tu g Tu T g u T hn u hn Tu g Tu 可以推出 T g u g Tu 6 1 4 应用实例 Extrema Killer 算子 Extrema Killer 算子是一个图

13、像光滑算法 作用是去 除图像中的 峰 peak 孤立的水平集 尤其对 椒盐噪声效果显著 算法如下 1 假设一个集合X有若干连通区域组成 定义一个集合变换 T b X Xb 而 2 Extrema Killer图像变换定义为 Tbu x sup l x T b clu 式定义了集合算子是Extrema Killer变换的伴随集 合算子 即 cl Tbu T b clu 噪声图像 killer算子作用后图像 改进的Extrema Killer 6 2 平移不变的形态学算子 主要描述平移不变的形态学算子以及它的伴随集合算 子 也就是平移不变的单调集合算子 记平移为tx 且满足 1 对于集合X txX

14、 x X x y y X 2 对于图像u tx u y u y x 其中x不是一个二维的点 而是表示一个二维向量 定义5 集合算子T 是平移不变的 如果 tx T X T txX 定义图像变换是平移不变的 如果 tx T u T txu 定理6 Matheron 令T 是平移不变的单调集合算子 那么存在一个集合族B B X 0 T X 其中0是R2中的原点 T 满足 其中X y X y 相反 式也定义了一个单调 平移 不变的集合算子 证明 先看 式等价于 利用单调性和平移不变性 得下面的等价关系 第五个等价性质成立理由是 如果 B X 并且B B 那么X B 因为B B 即 B 0 T B 又

15、因为B X 则有 X 0 T X X B 就有 相反的 如果算子通过 式定义 显然是单调和对 比不变的 定理7 F 是图像函数空间 Y是 F 中所有水平集 的集合 假设对比不变下是稳定的 并且包含了T中 所有元素的特征函数 令T 是T的伴随集合算子 如 果 x R2 集合族B x X x T X 那么 u F 有 对x几乎处处成立 其中B B 0 X 0 T X 另外 如果T 是位移不变算子 则 相反的 如果一个算子通过以上的公式定义 则该 算子是单调和对比不变的 证明 令 其中B x X x T X x 以下证明 Tu x Tu x 几乎处处相等 选择一个可数的稠密y 0 1 满足 l y

16、clTu x T clu x 对x RN Nl成立 对比下稳定 定理4 这里Nl的Lebesge测度为0 设N Nl 则N的 Lebesge测度也为0 为证明定理 先证明对所有的l y和所有的 x RN Nl 有 即处处相等了 Tu x l Tu x l 对任意 l m y 我们有 第五个等价关系 因为如果B B 并且B B x则 X B x B 0 T B B x T B 因为B X则有 X 0 T X X x T X B x 那么 如果某些B B x 那么一定有B cmu 就也有 cmu B x 于是证明了提出的命题 布尔代数 Boolean Algebra 中有个著名的结论 如果T是一个sup inf形式的算子 那么T也具有 inf sup的形式 即 此时的B 与sup inf形式中的B 是不同的 定理8 如果T是平移不变的形态学算子 那么它的 伴随算子集合T 可以通过一下公式来定义 证明 T满足定理7 并且可以延拓到F 中函数的所 有水平集 很容易由定理7推出定理6的结果 对于X的特征函数1x 则 当x B X 当x B X 于是 当且仅当 B B 满足 x B X和定理6 6