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1、河南省郑州市第一中学2020届高三数学12月联考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 已知全集2，3，4，5，集合3，2，则A. B. C. 2，4，D. 2，3，4，2. 在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量，若，则的最小值为A. 12B. C. 15D. 4. 已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D. 5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积小于的面的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知a，则“”是“函数是奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C
2、. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种8. 已知数列：，按照k从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的A. 第44项B. 第76项C. 第128项D. 第144项9. 在长方体中，E，F，G分别是AB，BC，的中点，P是底面ABCD内一个动点，若直线与平面EFG平行，则面积的最小值为A. B. 1C. D. 10. 已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象
3、向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，则A. B. C. 1D. 11. 如图，设抛物线的焦点为F，过x轴上一定点作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记的面积为，的面积为，若，则抛物线的标准方程为A. B. C. D. 12. 已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 设双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线上且异于A、B两点，O为坐标原点，若直线PA与PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为_14. 已知是定义在R上的偶函数，且若当时，则_15. 已知梯形ABCD，P为三角形BCD内
4、一点包括边界，则的取值范围为_16. 瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为的欧拉三角形如图，是的欧拉三角形为的垂心已知，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为_三、解答题（本大题共7小题）17. 数列的前n项和为，已知，2，3，证明：数列是等比数列；求数列的前n项和18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，为等边三角形当PB长为多少时，平面平面ABCD？并说明理由；若二面角大小为，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值19. 已知椭圆C：，C的右焦点，长轴的左、右端点分别为，且求椭圆C的方程；过焦点F斜率为的直线l交椭圆C
5、于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由20. 第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项，共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民，武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名
6、幸运参与者，他们得分满分100分数据，统计结果如下：组别频数5304050452010若此次问卷调查得分总体服从正态分布，用样本估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差同一组数据用该区间的中点值作为代表，求，的值的值四舍五入取整数，并计算在的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此
7、次纪念品所需要的总金额参考数据：；21. 已知函数e为自然对数的底数，是的导函数当时，求证；是否存在正整数a，使得对一切恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由22. 在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l经过点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为写出曲线C的普通方程；若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求的取值范围23. 已知函数，若，求a的取值范围；若，对，都有不等式恒成立，求a的取值范围答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题先求出，再得出，由集合运算的定义直接求解【解答】解：由全集2，3，4，5，
8、集合3，得4，又2，则4，2，2，4，故选C2.【答案】D【解析】解：所对应的点为，该点位于第四象限故选：D根据将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量平行和“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题根据已知条件，得出，继而可得等式，再求解等式即可【解答】解：，即，当且仅当，即，时取等号，的最小值为：故选B4.【答案】A【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，
9、代入，得，即，由，解得所以直线必过定点故选：A由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题5.【答案】C【解析】【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据，计算求解即可，属于中等题本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：，该几何体的各个面中，面积小于的个数是3个故选：C6.【答案】B【解析】解：函数的定义域为R，若函数为奇函数，则，当时，若为奇函数
10、，则，即，即函数为奇函数的充要条件是，或，“”推不出“函数是奇函数”，“函数是奇函数”“”；则“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件故选：B根据函数奇偶性的定义和性质得出“函数是奇函数”的等价条件，再根据“”或；由充分必要条件的定义即可得到结论本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键属于基础题7.【答案】B【解析】解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法种数，先在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2
11、个展区，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后2个安排到剩下的展区，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有种，则小李和小王不在一起排法有种；故选：B本题考查排列，组合的应用，涉及分步计数原理的应用，是中档题根据题意，用间接法分析，先求小李和小王不受限制的排法种数，再减去其中小李和小王在一起的排法种数即可8.【答案】C【解析】解：观察数列可得，该数列中分子，分母之和为2的有1项，为3的有2项，为4的有3项，分子，分母之和为1
12、6的有15项，分子，分母之和为17的有16项，排列顺序为，其中为分子，分母之和为17的第8项，故共有项故选：C观察数列可知，此数列按照分子，分母之和的大小排顺序，据此可以求出的位次本题考查数列的应用，涉及数列求和公式和分数知识，属于中档题9.【答案】A【解析】解：如图，补全截面EFG为截面EFGHQR，易知平面平面EFGHQR，设于点R，直线平面EFG，且当P与R重合时，最短，此时的面积最小，由等积法：得，又平面ABCD，为直角三角形，故，故选：A找出平面EFG与长方体的截面，然后再找出过与平面EFG平面平行的平面，即可找出P在平面ABCD上的位置本题考查了截面，面面平行，等积法等知识点和技巧
13、的运用10.【答案】B【解析】解：由函数的图象过点，解得，又，；又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知，；又，；，其图象的对称轴为，；当，其对称轴为，故选：B由题意求得、的值，写出函数的解析式，求图象的对称轴，得的值，再求的值本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题11.【答案】C【解析】解：抛物线的焦点，过x轴上一定点作斜率为2的直线l的方程为，联立抛物线方程可得，设，可得，设F到AB的距离为d，可得，即，联立可得，则抛物线的标准方程为故选：C求得直线l的方程，联立抛物线方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式，结合两个三
14、角形同高可得面积之比为底边之比，联立方程组，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于基础题12.【答案】C【解析】解：令，则，函数由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，如图所示：由于当时，此时，对应的x值只有一个，不满足条件，故a的取值范围是，故选C令，则，由题意可得，函数的图象与直线有3个不同的交点，且每个t值有2个x值与之对应，数形结合可得a的取值范围本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想及等价转化的数学思想，属于中档题13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是
