《2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.3 向量数量积的坐标运算学案 新人教B版第三册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.3 向量数量积的坐标运算学案 新人教B版第三册（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.1.3向量数量积的坐标运算学 习 目 标核 心 素 养1.通过平面向量基本定理领会向量的坐标表示(难点)2.能利用向量的数量积的坐标公式进行计算(重点)1.通过平面向量基本定理掌握下列的坐标表示，培养学生数学抽象的数学素养2.利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算的数学素养.1.向量的数量积的坐标公式设平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)数量积公式：abx1x2y1y2.(2)向量垂直公式：abab0x1x2y1y20.思考1：平面向量的坐标：在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1，e2，如果对于平面向量a，有axe1ye2，则向量a的
2、坐标为_，记作_，提示(x，y)a(x，y)2.三个重要公式(1)向量的模：a2xy|a|.(2)两点间的距离公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.思考2：(1)若点A(3,0), B(3,0)，则|_.(2)若点A(3,3), B(3，5)，则|_.提示(1)6(2)10(3)向量的夹角公式：cos a，b.1.已知a(1，1)，b(2,3)，则ab()A5B4C2D1Dab(1，1)(2,3)12(1)31.2.(2019全国卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()AB2 C5D50Aab(2,3)(3,2)(1,1)，|ab| .故选A3.(2019全国卷)已
3、知向量a(2,2)，b(8,6)，则cos a，b_.a(2,2)，b(8,6)，ab2(8)264，|a|2 ，|b|10.cos a，b .4已知a(3，x)，|a|5，则x_.4|a|5，x216.即x4.利用向量数量积的坐标公式计算【例1】(1)已知向量a(2,3)，b(2,4)，c(1,2)，则a(bc)_.(2)已知向量a(1,3)，b(2,5)，求ab，|3ab|，(ab)(2ab)思路探究(1)利用平面向量数量积的坐标运算公式进行计算(2)利用平面向量的数量积公式、模的坐标公式计算(1)12b(2,4)，c(1,2)，bc(2,4)(1,2)(3,6)又a(2,3)，a(bc)
4、(2,3)(3,6)2(3)3661812.(2)解ab123517.因为3a3(1,3)(3,9)，b(2,5)，所以3ab(1,4)，所以|3ab|.因为ab(3,8)，2a(2,6)，所以2ab(2,6)(2,5)(0,1)，所以(ab)(2ab)30818.1.数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2aa，(ab)(ab)|a|2|b|2.(ab)2|a|22ab|b|2.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算
5、列出方程(组)进行求解2.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(2)坐标表示下的运算若a(x，y)，则aaa2|a|2x2y2，于是有|a|.1.已知O为坐标原点，点A(1,0)，B(0,2)，若OCAB于点C，则()_.设点C的坐标为(x，y)，由A(1,0)，B(0,2)，得(1,2)，(x1，y)，因为OCAB于点C，即，解得，(1,2)，所以().2.已知向量a(，1)和b(1，)，若acbc，试求模为的向量c的坐标解法一：设c(x，y)，则ac(，1)(x，y)xy，bc(1，)(x，y)xy，由acbc及|c
6、|，得解得或所以c或c.法二：由于ab1(1)0，且|a|b|2，从而以a，b为邻边的平行四边形是正方形，且由于acbc，所以c与a，b的夹角相等，从而c与正方形的对角线共线此外，由于|c|，即其长度为正方形对角线长度(|b|2)的一半，故c(ab)或c(ab).向量数量积的坐标公式与夹角问题【例2】(1)已知向量a(1,2)，b(2，x)，若a与b垂直，则实数x的值是()A4 B4 C1 D1(2)已知平面向量a(1,3)，b(2，)，设a与b的夹角为.若120 ，求的值要使为锐角，求的取值范围思路探究(1)根据向量垂直的坐标关系求解(2)由120 求cos ，建立方程求的值要使为锐角，则c
7、os 0，且a与b不能共线，建立不等式求的取值范围(1)D因为a(1,2)，b(2，x)，a与b垂直，所以ab0，即122x0，解得x1.故选D(2)解由于a(1,3)，b(2，)，则ab23，当120 时，cos 120 ，得，平方整理得13224120，解得，由于ab230，所以0，且cos 1，ab|a|b|cos 0，ab0，即1230，解得.若ab，则1230，即6.但若ab，则0或，这与为锐角相矛盾，所以6.综上所述，且6.利用向量法求夹角的方法技巧(1)若求向量a与b的夹角，利用公式cos a，b，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角(2)非零向量a与b的夹角与向量的数量积的关系
8、：(1)若为直角，则充要条件为向量ab，则转化为ab0x1x2y1y20.(2)若为锐角，则充要条件为ab0，且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同)(3)若为钝角，则充要条件为ab0，且a与b的夹角不能为(即a与b的方向不能相反)3.已知a(sin ，cos )，|b|2.(1)若向量b在a方向上的投影为1，求ab及a与b的夹角.(2)若ab与b垂直，求|2ab|.解(1)由向量数量积的几何意义知，ab等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，ab1(1)1.设a与b的夹角，0，则cos ，.(2)若ab与b垂直，(ab)babb20，ab4，|2ab|2.向量数量积的坐标公式的综合问题
9、【例3】在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动(1)求证：为定值；(2)求的最大值思路探究(1)利用向量的投影证明，也可以建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算数量积(2)利用向量的投影转化为平面几何性质求最大值，也可以建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标公式，建立函数求最大值解法一：(几何法)(1)在边长为1的正方形ABCD中，|cos BCE|21(定值)(2)如图，作CNEM，垂足为N，则EBMCNM，得，所以EMMNCMMB，所以|cos CEN|(|cos CEN)|(|)|2|2 |21，所以当点E在点A时，取得最大值.法二：(坐标法)以点A为坐标原点，
10、AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x,0)，x0,1, (1)(1x,1)(0,1)1(定值)(2)由上述可知，C(1,1)，M，设E(x,0)，x0,1，则(1x,1)(1x)2，当x0,1时，(1x)2单调递减，当x0时，取得最大值.解决向量数量积的最值的方法技巧(1)“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断.(2)“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或取
11、值范围.4(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2B CD1B如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x22，当x0，y时，()取得最小值为，选B5在矩形ABCD中， AB3，AD1，若M，N分别在边BC，CD上运动(包括端点)，且满足，则的取值范围是_1,9分别以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,1)，D(0,
12、1)，设M(3，b)，N(x,1)，因为，所以b，则(x,1)， 故x1(0x3)，所以1x19，所以的取值范围是1,91.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2)求模利用|a| 计算两向量的模(3)求夹角余弦值由公式cos 求夹角余弦值(4)求角由向量夹角的范围及cos 求的值2.知识导图1.已知a(1,2)，b(3,2)，则ab()A1B2C3D4A因为a(1,2)，b(3,2)，所以ab1(3)221.2.已知a(1,2)，b(6，3)，则必有()AabBb3a CabDb3aC由a(1,2)，b(6，3)，得162(3)0ab.3.已知向量a(2,2)，b(0，3)，则a与b的夹角为()A45B60 C120D135D因为向量a(2,2)，b(0，3)，则ab6，
