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1、第十七章不等式选讲 高考理数 课标 专用 考点一不等式的性质和绝对值不等式 五年高考 A组统一命题 课标卷题组 1 2019课标 23 10分 已知f x x a x x 2 x a 1 当a 1时 求不等式f x 0的解集 2 若x 1 时 f x 0 求a的取值范围 解析本题考查不等式的基本性质 绝对值不等式的求解 以及含有参数的绝对值不等式恒成立问题 通过对绝对值不等式的分类讨论考查学生的化归与转化的能力 体现了逻辑推理的核心素养 1 当a 1时 f x x 1 x x 2 x 1 当x 1时 f x 2 x 1 2 0 当x 1时 f x 0 所以 不等式f x 0的解集为 1 2 因
2、为f a 0 所以a 1 当a 1 x 1 时 f x a x x 2 x x a 2 a x x 1 0 所以 a的取值范围是 1 思路分析 1 当a 1时 求解绝对值不等式只需分类讨论去掉绝对值 2 首先关注f a 0 求得a 1 这样不需要分类讨论就可以去掉绝对值 得到f x 2 a x x 1 0 求解即可 2 2018课标 23 10分 已知f x x 1 ax 1 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 2 若x 0 1 时不等式f x x成立 求a的取值范围 解析 1 当a 1时 f x x 1 x 1 即f x 故不等式f x 1的解集为 2 当x 0 1 时 x 1 ax
3、1 x成立等价于当x 0 1 时 ax 1 0 则 ax 1 1的解集为 所以 1 故0 a 2 综上 a的取值范围为 0 2 方法技巧1 研究含有绝对值的函数问题时 常根据绝对值的定义 分类讨论去掉绝对值符号 从而转化为分段函数来解决 2 对于求y x a x b 或y x a x b 型函数的最值问题 常利用绝对值三角不等式解决 3 不等式的恒成立问题可转化为函数的最值问题 注意在x D上 当f x 存在最小值时 f x a恒成立 af x max 3 2018课标 23 10分 设函数f x 5 x a x 2 1 当a 1时 求不等式f x 0的解集 2 若f x 1 求a的取值范围
4、解析 1 当a 1时 f x 可得f x 0的解集为 x 2 x 3 2 f x 1等价于 x a x 2 4 而 x a x 2 a 2 且当x 2时等号成立 故f x 1等价于 a 2 4 由 a 2 4可得a 6或a 2 所以a的取值范围是 6 2 方法总结解含有两个或两个以上绝对值的不等式 常用零点分段法或数形结合法求解 求含有两个或两个以上绝对值的函数的最值 常用绝对值三角不等式或数形结合法求解 4 2018课标 23 10分 设函数f x 2x 1 x 1 1 画出y f x 的图象 2 当x 0 时 f x ax b 求a b的最小值 解析本题考查函数的图象与绝对值不等式恒成立问
5、题 1 f x y f x 的图象如图所示 2 由 1 知 y f x 的图象与y轴交点的纵坐标为2 且各部分所在直线斜率的最大值为3 故当且仅当a 3且b 2时 f x ax b在 0 成立 因此a b的最小值为5 易错警示对 零点分段法 的理解不到位若不等式含有两个或两个以上的绝对值并含有未知数 通常先把每个绝对值内代数式等于零时的未知数的值求出 即零点 然后将这些零点标在数轴上 此时数轴被零点分成了若干段 区间 在每一区间里 每一个绝对值符号内的代数式的符号确定 此时利用绝对值的定义可以去掉绝对值符号 解后反思绝对值不等式问题常见类型及解题策略 1 直接求解不等式 主要利用绝对值的意义
6、不等式的性质想办法去掉绝对值符号求解 2 已知不等式的解集求参数值 利用绝对值三角不等式或函数求相应最值 再求参数的取值范围 5 2017课标 23 10分 已知函数f x x2 ax 4 g x x 1 x 1 1 当a 1时 求不等式f x g x 的解集 2 若不等式f x g x 的解集包含 1 1 求a的取值范围 解析本题考查含绝对值的不等式的解法 考查学生的运算求解能力以及对数形结合思想的应用能力 1 解法一 零点分段法 当a 1时 不等式f x g x 等价于x2 x x 1 x 1 4 0 当x1时 式化为x2 x 4 0 从而1 x 所以f x g x 的解集为 解法二 图象
7、法 由已知可得g x 当a 1时 f x x2 x 4 两个函数的图象如图所示 易得图中两条曲线的交点坐标为 1 2 和 1 所以f x g x 的解集为 2 解法一 等价转化法 当x 1 1 时 g x 2 所以f x g x 的解集包含 1 1 等价于当x 1 1 时f x 2 又f x 在 1 1 内的最小值必为f 1 与f 1 之一 所以f 1 2且f 1 2 得 1 a 1 所以a的取值范围为 1 1 解法二 分类讨论法 当x 1 1 时 g x 2 所以f x g x 的解集包含 1 1 等价于x 1 1 时f x 2 即 x2 ax 4 2 当x 0时 x2 ax 4 2成立 当
8、x 0 1 时 x2 ax 4 2可化为a x 而y x 在 0 1 单调递增 最大值为 1 所以a 1 当x 1 0 时 x2 ax 4 2可化为a x 而y x 在 1 0 单调递增 最小值为1 所以a 1 综上 a的取值范围为 1 1 思路分析 1 利用零点分段法或图象法解含绝对值的不等式 2 根据题设可去掉绝对值 进而转化为不等式恒成立问题进行求解 方法总结含绝对值不等式问题的常见解法 1 含绝对值的不等式求解问题 常利用零点分段讨论法或数形结合法求解 2 与恒成立相关的求参问题 常构造函数转化为求最值问题 6 2017课标 23 10分 已知函数f x x 1 x 2 1 求不等式f
9、 x 1的解集 2 若不等式f x x2 x m的解集非空 求m的取值范围 解析本题考查绝对值不等式的解法 1 f x 当x2时 由f x 1解得x 2 所以f x 1的解集为 x x 1 2 由f x x2 x m得m x 1 x 2 x2 x 而 x 1 x 2 x2 x x 1 x 2 x2 x 且当x 时 x 1 x 2 x2 x 故m的取值范围为 思路分析 1 分段讨论 求得符合题意的x的取值范围 最后取并集 2 不等式的解集非空 即不等式能成立 转化为求函数的最值处理 7 2016课标 24 10分 已知函数f x x 1 2x 3 1 画出y f x 的图象 2 求不等式 f x
10、 1的解集 解析 1 f x 3分 y f x 的图象如图所示 5分 2 由f x 的表达式及图象 当f x 1时 可得x 1或x 3 6分 当f x 1时 可得x 或x 5 7分 故f x 1的解集为 x 1 x 3 f x 1的解集为 9分 所以 f x 1的解集为 10分 8 2016课标 24 10分 已知函数f x 2x a a 1 当a 2时 求不等式f x 6的解集 2 设函数g x 2x 1 当x R时 f x g x 3 求a的取值范围 解析 1 当a 2时 f x 2x 2 2 解不等式 2x 2 2 6得 1 x 3 因此f x 6的解集为 x 1 x 3 5分 2 当x
11、 R时 f x g x 2x a a 1 2x 2x a 1 2x a 1 a a 当x 时等号成立 所以当x R时 f x g x 3等价于 1 a a 3 7分 当a 1时 等价于1 a a 3 无解 当a 1时 等价于a 1 a 3 解得a 2 所以a的取值范围是 2 10分 方法指导 1 将a 2代入不等式 化简后去绝对值求解 2 要使f x g x 3恒成立 只需f x g x 的最小值 3即可 利用 a b a b 可求最值 9 2015课标 24 10分 已知函数f x x 1 2 x a a 0 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 2 若f x 的图象与x轴围成的三角形面
12、积大于6 求a的取值范围 解析 1 当a 1时 f x 1化为 x 1 2 x 1 1 0 当x 1时 不等式化为x 4 0 无解 当 10 解得0 解得1 x1的解集为 5分 2 由题设可得 f x 所以函数f x 的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A B 2a 1 0 C a a 1 ABC的面积为 a 1 2 由题设得 a 1 2 6 故a 2 所以a的取值范围为 2 10分 解后反思分类讨论解不等式应做到不重不漏 在某个区间上解不等式时一定要注意区间的限制性 1 2019课标 23 10分 已知a b c为正数 且满足abc 1 证明 1 a2 b2 c2 2 a b 3 b c
13、 3 c a 3 24 证明本题考查了学生的推理论证能力 考查的核心素养是逻辑推理 1 因为a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 又abc 1 故有a2 b2 c2 ab bc ca 所以 a2 b2 c2 2 因为a b c为正数且abc 1 故有 a b 3 b c 3 c a 3 3 3 a b b c a c 3 2 2 2 24 所以 a b 3 b c 3 c a 3 24 考点二不等式的证明 思路分析 1 利用重要不等式可得a2 b2 c2 ab bc ca 再由abc 1可得 从而得证 2 由基本不等式的推广可证得结论 2 2019课标 23 10分 设x
14、 y z R 且x y z 1 1 求 x 1 2 y 1 2 z 1 2的最小值 2 若 x 2 2 y 1 2 z a 2 成立 证明 a 3或a 1 解析本题主要考查不等式的证明以及基本不等式的应用 考查学生推理论证的能力 考查了逻辑推理的核心素养 1 由于 x 1 y 1 z 1 2 x 1 2 y 1 2 z 1 2 2 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 3 x 1 2 y 1 2 z 1 2 故由已知得 x 1 2 y 1 2 z 1 2 当且仅当x y z 时等号成立 所以 x 1 2 y 1 2 z 1 2的最小值为 2 证明 由于 x 2 y 1 z a 2 x
15、 2 2 y 1 2 z a 2 2 x 2 y 1 y 1 z a z a x 2 3 x 2 2 y 1 2 z a 2 由题设知 解得a 3或a 1 难点突破 1 考虑到x y z 1 x 1 y 1 z 1 x y z 1 2 将x 1 y 1 z 1分别看作一个整体 转化为已知三数之和为定值 求它们平方和最小值的问题 和的平方与平方和之间存在等量关系 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 借助基本不等式可消去乘积 得到 a b c 2 3 a2 b2 c2 2 只需证明 x 2 2 y 1 2 z a 2 min 求 x 2 2 y 1 2 z a 2 min的方
16、法同第 1 问 故由已知得 x 2 2 y 1 2 z a 2 当且仅当x y z 时等号成立 因此 x 2 2 y 1 2 z a 2的最小值为 3 2017课标 23 10分 已知a 0 b 0 a3 b3 2 证明 1 a b a5 b5 4 2 a b 2 证明本题考查不等式的证明 1 a b a5 b5 a6 ab5 a5b b6 a3 b3 2 2a3b3 ab a4 b4 4 ab a2 b2 2 4 2 因为 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 2 3ab a b 2 a b 2 所以 a b 3 8 因此a b 2 失分警示运用直接法证明不等式时 可以通过分析和应用条件逐步逼近结论 在证明过程中易因逻辑混乱而失分 4 2015课标 24 10分 设a b c d均为正数 且a b c d 证明 1 若ab cd 则 2 是 a b cd得 2 2 因此 2 i 若 a b cd 由 1 得 ii 若 则 2 2 即a b 2 c d 2 因为a b c d 所以ab cd 于是 a b 2 a b 2 4ab c d 2 4cd c d 2 因此 a b 是
