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1、五年高考 三年模拟 栏目索引 10 2 双曲线及其性质 高考理数 课标 专用 五年高考 三年模拟 栏目索引 考点一 双曲线的定义和标准方程 2016课标 5 5分 已知方程 1表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为4 则n的取值范围是 A 1 3 B 1 C 0 3 D 0 五年高考 A组 统一命题 课标卷题组 五年高考 三年模拟 栏目索引 答案 A 解法一 由题意可知 c2 m2 n 3m2 n 4m2 其中c为半焦距 2c 2 2 m 4 m 1 方程 1表示双曲线 m2 n 3m2 n 0 m2 n 3m2 1 n 3 故选A 解法二 原方程表示双曲线 且焦距为4 或 由 得m2 1 n
2、 1 3 无解 故选A 知识拓展 对于方程mx2 ny2 1 若表示椭圆 则m n均为正数且m n 若表示双曲线 则m n0 b 0 的右焦点 O为坐标原点 以OF为直径 的圆与圆x2 y2 a2交于P Q两点 若 PQ OF 则C的离心率为 A B C 2 D 五年高考 三年模拟 栏目索引 答案 A 本题考查了双曲线的几何性质以及圆的性质 通过双曲线的离心率考查了学生的 运算求解能力 考查的核心素养为数学运算 如图 PQ OF c PQ过点 P 又 OP a a2 2 e 故选A 解题关键 由 PQ OF c可知PQ过以OF为直径的圆的圆心 进而得到P 是解答本题的 关键 五年高考 三年模拟
3、 栏目索引 3 2018课标 11 5分 已知双曲线C y2 1 O为坐标原点 F为C的右焦点 过F的直线与C的两 条渐近线的交点分别为M N 若 OMN为直角三角形 则 MN A B 3 C 2 D 4 答案 B 本题主要考查双曲线的几何性质 由双曲线C y2 1可知其渐近线方程为y x MOx 30 MON 60 不妨设 OMN 90 则易知焦点F到渐近线的距离为b 即 MF b 1 又知 OF c 2 OM 则在Rt OMN 中 MN OM tan MON 3 故选B 解题关键 利用双曲线的几何性质求出 MON的大小及 OM 的值是求解本题的关键 五年高考 三年模拟 栏目索引 4 201
4、8课标 5 5分 双曲线 1 a 0 b 0 的离心率为 则其渐近线方程为 A y x B y x C y x D y x 答案 A 本题主要考查双曲线的几何性质 e 双曲线的渐近线方程为y x x 故选A 五年高考 三年模拟 栏目索引 5 2017课标 9 5分 若双曲线C 1 a 0 b 0 的一条渐近线被圆 x 2 2 y2 4所截得的弦 长为2 则C的离心率为 A 2 B C D 答案 A 本题主要考查双曲线的方程和性质 直线与圆的位置关系 由题意可知圆的圆心为 2 0 半径为2 因为双曲线 1的渐近线方程为y x 即bx ay 0 且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2 所以 所
5、以 故离心率e 2 选A 五年高考 三年模拟 栏目索引 6 2016课标 11 5分 已知F1 F2是双曲线E 1的左 右焦点 点M在E上 MF1与x轴垂直 sin MF2F1 则E的离心率为 A B C D 2 答案 A 解法一 不妨设M在第二象限 由MF1 x轴 可得M MF1 由sin MF2F1 可得cos MF2F1 又tan MF2F1 b2 ac c2 a2 b2 b2 c2 a2 c2 a2 ac 0 e2 e 1 0 e 故选A 解法二 不妨设M在第二象限 由MF1 x轴 得M MF1 由双曲线的定义可得 MF2 2a MF1 2a 又sin MF2F1 a2 b2 a b
6、e 故选A 五年高考 三年模拟 栏目索引 7 2015课标 5 5分 已知M x0 y0 是双曲线C y2 1上的一点 F1 F2是C的两个焦点 若 0 则y0的取值范围是 A B C D 答案 A 不妨令F1为双曲线的左焦点 则F2为右焦点 由题意可知a2 2 b2 1 c2 3 F1 0 F2 0 则 x0 x0 y0 y0 3 又知 1 2 2 3 1 0 y0 故选A 思路分析 由双曲线方程求出F1 F2的坐标 利用数量积的坐标运算表示出 利用M在 双曲线上得 2 2 从而将 转化为仅含y0的式子 由 0即可解得y0的取值范围 解题关键 依据 0 b 0 则A a 0 B a 0 不妨
7、设点M在第一象 限内 则易得M 2a a 又M点在双曲线E上 于是 1 可得b2 a2 e 思路分析 设出双曲线方程 依据题意 求出点M的一个坐标 代入双曲线方程 得到关于a b的 方程 进而可得出双曲线E的离心率 五年高考 三年模拟 栏目索引 9 2019课标 16 5分 已知双曲线C 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 过F1的直线 与C的两条渐近线分别交于A B两点 若 0 则C的离心率为 答案 2 五年高考 三年模拟 栏目索引 解析 本题考查双曲线的几何性质 平面向量的线性运算 平面向量数量积的性质等知识 考查 学生的推理论证能力 运算求解能力及应用意识 考查的核心素养是
8、逻辑推理和数学运算 双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为y x 0 F1B F2B 点B在 O x2 y2 c2上 如图所示 不妨设点B在第一象限 由 得点B a b 五年高考 三年模拟 栏目索引 点A为线段F1B的中点 A 将其代入y x得 解得c 2a 故e 2 思路分析 利用 0得出点B在 O x2 y2 c2上 结合点B在渐近线上求得点B的坐标 进 而利用 得点A的坐标 由点A在另一条渐近线上可得a与c的关系 从而求得离心率 疑难突破 求点B的坐标是难点 垂直关系可以与圆联系 也可以转化为直角三角形 求边的关 系 一题多解 一题多解一 如图 由 知A为线段F1B的中点 O为线段F
9、1F2的中点 OA F2B 0 F1B F2B OA F1A且 F1OA OF2B BOF2 AOF1 BOF2 OF2B 又易知 OB OF2 c OBF2为正三角形 五年高考 三年模拟 栏目索引 可知 tan 60 e 2 一题多解二 如图 设 AOy 则 BOy A为线段F1B的中点 又 O为线段F1F2的中点 OA BF2 OBF2 2 过B作BH OF2 垂足为H 则BH y轴 则有 OBH HBF2 易得 OBH F2BH OB BF2 0 五年高考 三年模拟 栏目索引 BF1 BF2 又O为F1F2的中点 OB OF2 c OBF2为正三角形 BOF2 60 则 tan 60 e
10、 2 五年高考 三年模拟 栏目索引 1 2017天津 5 5分 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左焦点为F 离心率为 若经过F和P 0 4 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线 则双曲线的方程为 A 1 B 1 C 1 D 1 B组 自主命题 省 区 市 卷题组 考点一 双曲线的定义和标准方程 答案 B 本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的标准方程 由离心率为 可知a b c a 所以F a 0 由题意可知kPF 1 所以 a 4 解得a 2 所以双曲线的方程为 1 故选B 方法总结 求双曲线的方程的常用方法 1 待定系数法 设出所求双曲线的方程 根据题意构 造关于参数a b的方程组 从而解
11、方程组求出参数a和b的值 2 定义法 根据题意得到动点所满 足的关系式 结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程 五年高考 三年模拟 栏目索引 2 2016天津 6 5分 已知双曲线 1 b 0 以原点为圆心 双曲线的实半轴长为半径长的圆 与双曲线的两条渐近线相交于A B C D四点 四边形ABCD的面积为2b 则双曲线的方程为 A 1 B 1 C 1 D 1 答案 D 设A x0 y0 不妨令其在第一象限 由题意得 可得 结合2x0 2y0 2b 可得b2 12 所以双曲线的方程为 1 故选D 五年高考 三年模拟 栏目索引 3 2015天津 6 5分 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐
12、近线过点 2 且双曲线的一个焦 点在抛物线y2 4 x的准线上 则双曲线的方程为 A 1 B 1 C 1 D 1 答案 D 由题意知点 2 在渐近线y x上 所以 又因为抛物线的准线为x 所 以c 故a2 b2 7 所以a 2 b 故双曲线的方程为 1 选D 五年高考 三年模拟 栏目索引 1 2019浙江 2 4分 渐近线方程为x y 0的双曲线的离心率是 A B 1 C D 2 考点二 双曲线的几何性质 答案 C 本题考查双曲线的渐近线 离心率 考查学生的运算求解的能力 体现了数学运算 的核心素养 渐近线方程为y x a b c a e 故选C 解题关键 正确理解双曲线方程与渐近线方程的关系
13、 从而得出a与c的关系 五年高考 三年模拟 栏目索引 2 2019天津 5 5分 已知抛物线y2 4x的焦点为F 准线为l 若l与双曲线 1 a 0 b 0 的两条 渐近线分别交于点A和点B 且 AB 4 OF O为原点 则双曲线的离心率为 A B C 2 D 答案 D 本题主要考查双曲线的离心率 抛物线焦点坐标与准线方程 通过圆锥曲线的性质 考查学生的运算求解能力 渗透了数学运算的核心素养 如图 由题意可知抛物线的焦点为F 1 0 准线方程为x 1 AB 4 OF 4 A 1 2 又点A在直线y x上 2 1 2 双曲线的离心率e 故选D 五年高考 三年模拟 栏目索引 3 2016浙江 7
14、5分 已知椭圆C1 y2 1 m 1 与双曲线C2 y2 1 n 0 的焦点重合 e1 e2分别 为C1 C2的离心率 则 A m n且e1e2 1 B m n且e1e2 1 C m1 D m n且e1e21 1 即e1e2 1 结合图形易知m n 故选A 思路分析 根据焦点重合可得m2与n2之间的关系 进而建立 关于m的解析式 然后判定范围 即可 评析 本题考查了椭圆 双曲线的方程和基本性质 考查了运算求解能力 五年高考 三年模拟 栏目索引 4 2019江苏 7 5分 在平面直角坐标系xOy中 若双曲线x2 1 b 0 经过点 3 4 则该双曲线的 渐近线方程是 答案 y x 解析 本题主要
15、考查双曲线渐近线方程 考查了运算求解能力 考查的核心素养是数学运算 由双曲线x2 1 b 0 经过点 3 4 得9 1 解得b 又b 0 所以b 易知双曲线的焦点在x轴上 故双曲线的渐近线方程为y x x 五年高考 三年模拟 栏目索引 5 2018江苏 8 5分 在平面直角坐标系xOy中 若双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点F c 0 到一 条渐近线的距离为 c 则其离心率的值是 答案 2 解析 本题考查双曲线的性质 双曲线的一条渐近线方程为bx ay 0 则F c 0 到这条渐近线的距离为 c b c b2 c2 又b2 c2 a2 c2 4a2 e 2 五年高考 三年模拟 栏目索引 6
16、2017山东 14 5分 在平面直角坐标系xOy中 双曲线 1 a 0 b 0 的右支与焦点为F的抛 物线x2 2py p 0 交于A B两点 若 AF BF 4 OF 则该双曲线的渐近线方程为 答案 y x 解析 本题考查双曲线 抛物线的基础知识 考查运算求解能力和方程的思想方法 设A x1 y1 B x2 y2 因为4 OF AF BF 所以4 y1 y2 即y1 y2 p 由 消去x 得a2y2 2pb2y a2b2 0 所以y1 y2 由 可得 故双曲线的渐近线方程为y x 五年高考 三年模拟 栏目索引 思路分析 由抛物线的定义和 AF BF 4 OF 可得y1 y2的值 用p表示 再联立双曲线和抛物 线的方程 消去x得关于y的一元二次方程 由根与系数的关系得y1 y2 从而得 的值 进而得渐近 线方程 解题关键 求渐近线方程的关键是求 的值 利用题中条件建立等量关系是突破口 注意到 AF BF 为焦半径 因此应利用焦半径公式求解 又A B为两曲线的交点 因此应联立它们的方程 求解 这样利用y1 y2这个整体来建立等量关系便可求解 五年高考 三年模拟 栏目索引 7 2016北京
