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1、导数在研究函数中的应用测试题一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 若函数f(x)在R上是一个可导函数，则f(x)0在R上恒成立是f(x)在区间(-,+)内递增的( )A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件2 （原创题）函数单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 3 已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4 对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）A. B. C. D. 5 函数有（ ）A. 极大值，极小值 B. 极大值，极小值C. 极大值，无极小值
2、D. 极小值，无极大值6 已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )A -1a2 B -3a6C a-1或a2 D a-3或a67（改编题）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A. 个 B. 个 C. 个 D. 个8 （原创题）函数的最小值为（ ）A. B. C. D. 9 已知函数f(x)x3bx2cxd在区间1,2上是减函数，那么bc( )A 有最大值 B 有最大值C 有最小值 D 有最小值10 已知函数在区间上的最大值为,则a等于( )A. B. C. D. 或11 （原创题）半径为5的半圆有一内接矩形
3、，当周长最大时其边长等于( )A. 和 B. 和 C. 和 D.以上都不对12（2011山东高考）函数y=-2sinx的图象大致是( )二 填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上）13 （原创题）.函数的单调递增区间是_.14 函数在时有极值，那么的值分别为_. 15 若函数f(x) (a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_.16 （改编题）.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为_.三 解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 (本小题10分)已知的图象经过点，且在处的切线方程是（1）求的解析式；（2）求
4、的单调递增区间. 18 (本小题10分) 已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围. 20 (本小题10分) 某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0x21）的平方成正比已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大20 （改编题）(本小题10分) 已知a为实数， .求导数；若，求在2，2 上的最大值和最小值；若在(，2)和2，+上都是递增的，求a的取值范围 .
5、21 (原创题)(本小题12分)已知函数f(x)ln(x+1)ax（a0）求函数f(x)的单调区间；当时，若，证明：【挑战能力】1 已知函数，其中（1）若是函数的极值点，求实数的值；（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围2 已知是函数的一个极值点, 其中(1) 求m与n的关系式; (2) 求的单调区间;(3) 当时, 函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m, 求m的取值范围.3 两县城A和B相聚20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度 与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点
6、到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对称A和城B的总影响度为0.0065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由 .导数在研究函数中的应用测试题答案一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
7、目要求的）1 【答案】A.【解析】当f(x)0在R上恒成立时，f(x)递增，反之，f(x)递增时，f(x)0.2 【答案】 C 【解析】令3 【答案】B 【解析】在恒成立，4 【答案】C【解析】当时，函数在上是增函数；当时，在上是减函数，故当时取得最小值，即有得5 【答案】C 【解析】，当时，；当时， 当时，；取不到，无极小值6 【答案】D【解析】.由题意：f(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不等实根,=4a2-12(a+6)0,解得:a-3或a6.7 【答案】A 【解析】极小值点应有先减后增的特点，即 8 【答案】A 【解析】令，当时，；当时，所以，在定义域内只有一个极值，所以9
8、【答案】B【解析】.由f(x)在1,2上是减函数，知f(x)3x22bxc0，x1,2，则152b2c0 bc.10 【答案】C 【解析】当时,最大值为4,不合题意,当时, 在上时减函数,最大, ,解得,或(舍去).11 【答案】B 【解析】设矩形的一边长为x，则另一边长为，则，令，解得，（舍去） .当时,当时, ,所以当时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为,.12 【答案】 C.【解析】因为y=-2cosx，所以令y=-2cosx0，得cosx，此时原函数是增函数；令y=-2cosx，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得C正确.二 填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相
9、应的位置上）13 【答案】 【解析】因为,所以14 【答案】 【解析】 ，当时，不是极值点15 【答案】1【解析】f(x),当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增，当x时，f(x)，1，不合题意.f(x)maxf(1)，a1.16 【答案】 cm 【解析】设圆锥的高为x,则底面半径为,其体积为,令,解得(舍去).当 时,;当时, ,所以当时,V取最大值.三 解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 【解析】：（1）的图象经过点，则，切点为，则的图象经过点得（2）单调递增区间为18 【解析】：（1）由，得，函数的单调区间如下表： 极大
10、值极小值所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，为极大值，而，则为最大值，要使恒成立，则只需要，得. 20 【解析】（1）设商品降低x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2)又已知条件，24k22，于是有k6，所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x0,21.（2）根据（1），我们有f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).故x12时，f(x)达到极大值11 664，因为f(0)=9 072，f(12)=11 664，所以定
11、价为301218元时能使一个星期的商品销售利润最大.20 【解析】：由原式得由 得,此时有.由得或x=-1 , 又 所以f(x)在2,2上的最大值为最小值为解法一:的图象为开口向上且过点(0,4)的抛物线,由条件得 即 2a2. 所以a的取值范围为2,2. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非负. 由题意可知,当x-2或x2时, 0, 从而x1-2, x22, 即 解不等式组得2a2. a的取值范围是2,2. 21 【解析】：函数f(x)的定义域为a .,当 当x时，f(x)是增函数，即f(x)的单调递增区间为； 当x时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为 .证明：由知，令，则 当x（1，0）时，0，当x（0，）时，0 当时，即 0， 综上可知，当时，有【挑战能力】1 【解析】（1），其定义域为， 是函数的极值点，即 ， 经检验当时，是函数的极值点， （2）对任意的都有成立等价于对任意的都有 当1，时，函数在上是增函数 ，且，当且1，时，函数在1，上是增函数，.由，得，又，不合题意 当1时，若1，则，若，则函数在上是减函数，在上是增函数.由，得，又1， 当且1，时，函数在上是减函数.由，得，又，综上所述，的取值范围为 2 【解析】:(1) 因为是函数的一个极值点, 所以, 即所以(2) 由(1)知, 当时, 有当x变化时，与的变化如下表:
