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1、【2013年中考攻略】专题13：数学思想方法之分类探讨数学中的所谓分类，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。分类思想解题的过程（思维、动因和方法）我们把它归纳为WHDI四个方面：W即为什么要进行分类。一般地说，当我们研究的问题是下列五种的情形时可以考虑使用分类的思想方法来解决问题：（1）涉
2、及到分类定义的概念，有些概念是分类定义的，如有理数、实数、绝对值、平方根、有理式、三角形的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法；（2）直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则，如有理数的大小比较法则、一元二次方程根的判别式、直线与圆的位置关系、函数的性质等，当我们应用这些受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时，如果在解决问题中需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制可以考虑使用分类讨论的方法；（3）问题中含有的参变量的不同取值（如分段函数）会导致不同结果而需要对其进行分类讨论；（4）几何问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论；（5）由数学运算引起
3、的分类讨论。H即如何进行分类。首先，明确分类讨论思想的三个原则：（1）不遗漏原则；（2）不重复原则；（3）同标准原则。其次，查找引起分类讨论的主要原因，即上述五个主要原因的哪一种。第三，掌握分类讨论思想的常用方法。分类方法一般为分区间讨论法，即把参数的变化范围（或几何图形中动态的变化范围）划分成若干个以参数特征为分界点（或几何图形中的端点）的小区间分别进行讨论，根据题设条件或数学概念、定理、公式的限制条件确定参数(如零点，几何图形中的顶点)。D即正确进行逐类逐级分类讨论。I即归纳小结，总结出结论。结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面五方面探讨分类方法的应用：（1）代数中涉及到分类定义概
4、念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用；（2）几何中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用；（3）含有的参变量的不同取值的分类应用；（4）几何问题中几何图形的不确定的分类应用；（5）由数学运算引起的分类应用。一、代数中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用：典型例题： 例1. （2012四川凉山4分）x是2的相反数，y=3，则xy的值是【 】A B1C或5 D1或 【答案】D。【考点】代数式求值，相反数，绝对值。【分析】根据相反数和绝对值的意义可求x和y的值，再代入计算：x是2的相反数，x=2。y=3，y=3。当 x=2
5、，y=3 时，xy=23=5；当 x=2，y=3 时，xy=2（3）=1。故选D。例2. （2012湖南衡阳3分）函数中自变量x的取值范围是【 】Ax2 Bx2 Cx2 Dx2【答案】A。【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选A。例3.（2012湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】Ak Bk且k0 Ck Dk且k0【答案】D。【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义
6、的条件。【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+10；根据方程有两个不相等的实数根，得=2k+14k0。三者联立，解得k且k0。故选D。例4. （2012福建泉州3分）若的函数值随着x的增大而增大，则的值可能是下列的【 】.A . B. C.0 D.3 【答案】D。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】一次函数的图象有四种情况：当时， y的值随x的值增大而增大；当时， y的值随x的值增大而减小。 由题意得，函数函数值随着x的增大而增大，故，可取3。故选D。练习题：1. （2012四川德阳3分）使代数式有意义的x的取值范围是【
7、 】A. B. C.且 D.一切实数2.（2012山东东营3分）方程有两个实数根，则k的取值范围是【 】A k1 B k1 C k1 D k13. （2012贵州贵阳4分）在正比例函数y=3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P（m，5）在第 象限一、几何中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用：典型例题：例1. （2012湖南长沙3分）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是【 】A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B。【考点】构成三角形的三边的条件。【分析】四条木棒的所有组合：3，4，7和3
8、，4，9和3，7，9和4，7，9，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，只有3，7，9和4，7，9能组成三角形。故选B。例2. （2012贵州贵阳3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使ABCDEF，还需要添加一个条件是【 】ABCA=F BB=E CBCEF DA=EDF【答案】B。【考点】全等三角形的判定。190187。【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断： A、由AB=DE，BC=EF和BCA=F构成SSA，不符合全等的条件，不能推出ABCDEF，故本选项错误；B、由AB=DE，BC=EF和B=E构成SAS，符合全等的条件
9、，能推出ABCDEF，故本选项正确；C、BCEF，F=BCA。由AB=DE，BC=EF和F=BCA构成SSA，不符合全等的条件，不能推出ABCDEF，故本选项错误；D、由AB=DE，BC=EF和A=EDF构成SSA，不符合全等的条件，不能推出ABCDEF，故本选项错误。故选B。例3. （2012宁夏区3分）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是【 】 A13 B17 C22 D17或22【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行
10、讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形：若4为腰长，9为底边长，由于4+49，则三角形不存在；9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边。这个三角形的周长为9+9+4=22。故选C。例4.（2012福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】A 2个 B 3个 C4个 D5个【答案】C。【考点】等腰三角形的判定。【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。 以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个。故选C。例5. （2012
11、青海西宁2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC12，BD16，E为AD的中点，点P在x轴上移动小明同学写出了两个使POE为等腰三角形的P点坐标为(5，0)和(5，0)请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标 【答案】（8，0），（，0）。【考点】菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】四边形ABCD是菱形，ACBD，OA=AC=12=6，OD=BD=16=8。在RtAOD中，AD=。E为AD中点，OE=AD=10=5。当OP=OE时，P点坐标（-5，0）和（5，0）。当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）。如图，当OP=EP
12、时，过点E作EKBD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P。EKOA。EK：OA=ED：AD=1：2。EK=OA=3。OK=。PFO=EKO=90，POF=EOK，POFEOK。OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=。P点坐标为（，0）。其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0），（，0）。例6. （2012四川资阳3分）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 【答案】8或10。【考点】三角形的外接圆与外心，勾股定理。【分析】由勾股定理可知：当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；当两条直角边长分别为16和12，则直角
13、三角形的斜边长= ，因此这个三角形的外接圆半径为10。综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10。练习题：1. （2012山东潍坊3分）如图所示，AB=DB，ABD=CBE，请你添加一个适当的条件 ， 使ABCDBE (只需添加一个即可)2. （2012广东肇庆3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为【 】 A16 B18 C20 D16或20（2012湖北襄阳3分）在等腰ABC中，A=30，AB=8，则AB边上的高CD的长是 3. （2012广西来宾3分）已知等腰三角形的一个内角是80，则它的底角是 04. （2012黑龙江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=
14、3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP= 5. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）RtABC中，A=900，BC=4,有一个内角为600，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且ACP=300，则PB的长为 二、含有的参变量的不同取值的分类应用：典型例题：例1. （2012重庆市4分）2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为S下面能反映S与t的函数关系的大致图象是【 】ABCD【答案】B。【考点】函数的图象。【分析】根据题意可得，S与t
