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1、本资料来源于七彩教育网http:/114直线与圆 圆与圆的位置关系【知识网络】1能根据给定直线、圆的方程,判定直线与圆、圆与圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3进一步体会用代数方法处理几何问题的思想【典型例题】例1(1)已知点P(1,2)和圆C:,过P作C的切线有两条,则k的取值范围是( )A.kR .k. D.(2)设集合A=(x,y)|x2y24,B=(x,y)|(x1)2(y1)2r2(r0),当AB=B时,r的取值范围是 ( )A(0,1) B(0,1 C(0,2 D(0,(3)若实数x、y满足等式(x-2),那么的最大值为( )A. . . .(4)过点M且被圆截得弦
2、长为8的直线的方程为 (5)圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆和的交点的圆的方程是 .例2 若直线l:2xy1=0和圆C:x2y22y1=0相交与A、B两点,求弦长AB.例3 圆O1的方程为:x2(y1)2=4,圆O2的圆心坐标为(2,1)(1)若圆O1与圆O2相外切,求圆O2的方程;(2)若圆O1与圆O2相交于A、B两点,且AB=2,求圆O2的方程例4 已知点A(0,2)和圆C:,一条光线从A点出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射,求这条光线从A点到切点所经过的路程.【课内练习】1两圆和的位置关系是 ( )A.外切 .内切 .相交 .外离2直线x2y2k=0与2x3yk=0的交点在圆x2y
3、2=9的外部,则k的取值范围是( )A(,)(,) B(,)C(,) D,3已知半径为1的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A. . 或. . 或4已知点M(a,b)(ab0)是圆内一点,直线g是以M为中点的弦所在直线,直线l的方程为,则( )A,且与圆相离B,且与圆相切C,且与圆相交D,且与圆相离5圆心在直线2x+y=0上,且与直线x+y-1=0切于点(2,-1)圆的标准方程是 .6过点M(2,4)向圆C:(x1)2(y3)2=1引两条切线,切点为P、Q,则P、Q所在的直线方程是 7已知圆系,其中a1,且aR,则该圆系恒过定点 8点P在直线上,PA、PB与圆相切于A、B两点,求四边
4、形PAOB面积的最小值9求与圆外切且与直线相切于点M(3,)的圆方程10已知圆C方程为:,直线l的方程为:(2m1)x(m1)y7m4=0(1)证明:无论m取何值,直线l与圆C恒有两个公共点。(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度,并求出此时的m值114直线与圆 圆与圆的位置关系A组1两圆与0)外切,则r的值是( )A. . .5 .2过点(2,0)的直线与圆x2+y2=1相切,则该直线的斜率是 ( )A1 B C D3直线x7y5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值是 ( ) A B C D4已知圆x2+y2=25则过点B(-5,2)的切线方程是 5圆关于直线x+2y-3=0
5、对称的圆的方程是 6求圆心为(2,1),且与已知圆的公共弦所在直线过点(5,-2)的圆的方程7两圆在交点处的切线互相垂直,求实数a的值.8已知圆O:和抛物线上三个不同的点A、B、C,如果直线AB和AC都与圆O相切,求证:直线BC也与圆O相切B组1若两圆x2y2=m,与 x2y26x8y11=0有公共点,则实数m的取值范围是( ) Am1 Bm121 C1m121 D1m1212若直线xy=m与圆x2y2=1的两个交点都在第一象限,则m的取值范围是( ) A(1,2) B(2,2) C(1,) D(,2)3已知圆(x3)2y2=4和直线y=mx的交点为P、Q,则|OP|OQ|等于 ( )A B1
6、m2 C5 D104过点P(3,0)作圆x2y28x2y12=0的弦,其中最短的弦长为 5直线x=2被圆(xa)2y2=4所截得的弦长等于2,则a的值为 6求圆心在直线5x-3y=8上,且与坐标轴相切圆的标准方程 7求经过点P(2,4),且以两圆:x2y26x=0, x2y2=4公共弦为一条弦的 圆的方程 8当a取不同的非零实数时,由方程x2y22ax2ay3a2=0,可以得到不同的圆,问:(1)这些圆的圆心是否共线?(2)这些圆是否有公切线,如果共线,试求出公切线的方程;如果不共线,请说明理由114直线与圆 圆与圆的位置关系【典型例题】例1、(1)D提示:P在圆外 (2)C提示:两圆内切或内
7、含(3)D提示:从纯代数角度看,设t=,则y=tx,代入已知的二元二次方程,用0,可解得t的范围。从数形结合角度看,是圆上一点与原点连线的斜率,切线的斜率是边界(4)提示:用点到直线的距离公式,求直线的斜率(5).提示:经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出,其中的一个待定系数,可依据圆心在已知直线上求得例2、解法一 已知圆的方程可化为标准式x2(y1)2=2,圆心是(0,1),半径r=,设圆心到直线l的距离为d,则d=弦长解法二 由方程组消去y得:5x28x2=0 ()设A(x1,y1),B(x2,y2),x1、x2是方程()的两根x1x2=AB=x1x2=例3、(1)圆O1的方程为:x
8、2(y1)2=4,圆心O1(0,1),半径r1=2设圆O2的半径为r2,由两圆外切知O1O2= r1r2而O1O2=r2= O1O2r1=22圆O2的方程为(x2)2(y1)2=128(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2=r22,又圆O1的方程为:x2(y1)2=4,两方程的二次相系数相同,两式相减得两圆公共弦AB所在的直线方程为:4x4yr228=0,作O1HAB于H,则AH=AB=r1=2,O1H=又O1H=,得r22=4或r22=20圆O2的方程为(x2)2(y1)2=4或(x2)2(y1)2=20例4、解法一 设反射光线与圆相切于D点.点A关于x轴的对称点的坐标为A(,),则光从
9、A点到切点所走的路程为A.在RtAD中,A1D.即光线从A点到切点所经过的路程是.解法二 设圆心C(6,4)关于x轴的对称点为C(6,4),过点A作圆C的切线,切点为E,则光从A点到切点所走的路程等于AE.在RtAE中,AE.即光线从A点到切点所经过的路程是【课内练习】1D提示:将圆心之距与半径的和、差比大小 2A提示:求出交点坐标(x0,y0),令x02y0293B提示:注意内且与外切均有可能4A提示:考虑两直线的斜率关系(相等),再考虑原点到直线的距离与半径的大小比较5圆与直线x+y-1=0相切,并切于点M(2,-1),则圆心必在过点M(2,-1)且垂直于x+y-1=0的直线l上,l的方程
10、为y=x-3,即圆心为C(1,-2),r=,所求圆的方程为:(x-1)2+(y+2)2=2.6x7y19=0提示: 求直线方程,只须求直线上两点同时满足的一个二元一次方程,将P、Q两点的坐标统一设为(x,y),找x、y满足的方程只须使用相切与点在圆上即可从另一角度讲,点M、圆心C、切点P、Q四点共圆,直线PQ为该圆与已知圆的公共弦所在的直线。故将两圆方程的二次项系数化为1,相减即得7(1,1)提示:将a取两个特殊值,得两个圆的方程,求其交点,必为所求的定点,故求出交点坐标后,只须再验证即可。另一方面,我们将方程按字母a重新整理,要使得原方程对任意a都成立,只须a的系数及式中不含a的部分同时为零
11、88提示:四边形可以分成两个全等的直角三角形,要面积最小,只要切线长最小,亦即P到圆心距离要最小 9设所求圆的方程为由题知所求圆与圆外切则又所求圆过点M的切线为直线,故 解由组成的方程组得故所求圆的方程为10提示:(1)用点到直线的距离公式,证明r2d20恒成立(2)求(1)中r2d2的最小值,得直线l被圆C截得的线段的最短长度为4,此时的m值为 114直线与圆 圆与圆的位置关系A组1D提示:圆心之距等于半径之和2C提示:数形结合或用点到直线的距离公式3B提示:弦所对的圆心角是直角421x-20y+145=0或x=-5提示:求过点B的圆的切线方程,当斜率存在时可设为点斜式,利用圆心到切线的距离
12、等于圆的半径列出方程,求出斜率k的值;斜率不存在时,结合图形验证5提示:求圆心关于直线的对称点,半径不变6(x-2)+(y-1)=4提示:根据圆心坐标设出圆的方程,应用相交弦方程的求法,通过比较系数确定未知圆的半径72提示:一圆的切线经过另一圆的圆心,两圆半径及圆心距构成直角三角形8设A,B,C,则直线AB、AC、BC的方程分别为,由于AB是圆O的切线,则,整理得同理 b、c是方程的两根,于是圆心O到直线BC的距离,故BC也与圆O相切B组1C提示:圆心之距不大于半径之和,同时不小于半径之差的绝对值2D.提示:考虑两个特殊位置时m的取值,一是直线过(0,1)点,二是直线与圆在第一象限相切3C.提示用切割线定理42提示:弦长最短时,点P是弦的中点51或3提示:用圆心到直线的距离的平方等于半径的平方减弦长一半的平方6设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆与坐标轴相切,a=b,r=a又圆心(a,b)在直线5x-3y=8上.5a-3b=8,由得所求圆的方程为: