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1、大学物理 知识点总结 机械振动与机械波 第九章第九章 机械振动与机械波机械振动与机械波 机械振动 简谐振动 的特征 简谐振动 的描述 简谐振动 的合成 阻尼振动 受迫振动 简谐振动 机械波 机械波的 产生 机械波的 描述 波动过程中 能量的传播 波在介质中 的传播规律 回复力 动力学方程 运动学方程 能量 简谐振动的特征 动能势能相互转化 简谐振动的描述 一 描述简谐振动的物理量 振幅A 角频率 周期 T 和频率 相位 t 和 初相 相位差 的确定 1 解析法 2 振动曲线法 3 旋转矢量法 二 简谐振动的研究方法 A A 1 同方向 同频率的简谐振动的合成 简谐振动的合成 驱动力作正功 阻尼
2、力 作负功 逐渐耗尽守恒 能 量 振动曲线 先变化后稳定 逐渐减小 振 幅 频 率 受 力 受 迫 振 动阻尼振动简谐振动 运动形 式 阻尼振动 受迫振动 速度共振 位移共振 机械波的产生 1 产生的条件 波源及弹性媒质 2 分类 横波 纵波 3 描述波动的物理量 波长 在同一波线上两个相邻的相位差为2 的质元 之间的距离 周期T 波前进一个波长的距离所需的时间 频率 单位时间内通过介质中某点的完整波的数目 波速u 波在介质中的传播速度为波速 各物理量间的关系 波速u 决定于媒质 仅由波源决定 与媒质无关 机械波的描述 波前波面 波线 波线 波前波面 1 几何描述 2 解析描述 1 能量密度
3、3 能流密度 波的强度 2 平均能量密度 基本原理 传播独立性原理 波的叠加原理 波动过程中能量的传播 波在介质中的传播规律 1 相干条件 频率相同 振动方向相同 相位差恒定 波的干涉 现象 波的反射 波疏媒质 波密媒质 界面处存在半波损失 干涉减弱 2 加强与减弱的条件 干涉加强 3 驻波 干涉特例 波节 振幅为零的点 波腹 振幅最大的点 能量不传播 多普勒效应 以媒质为参考系 1 S 静止 R 运动 2 S 运动 R 静止 一般运动 习题类别 振动 1 简谐振动的判定 动力学 质点 牛顿运动定律 刚体 转动定律 2 振动方程的求法 由已知条件求方程 由振动曲线求方程 3 简谐振动的合成 波
4、动 1 求波函数 波动方程 由已知条件求方程 由振动曲线求方程 由波动曲线求方程 2 波的干涉 含驻波 3 波的能量的求法 4 多普勒效应 相位 相位差和初相位的求法 解析法和旋转矢量法 1 由已知的初条件求初相位 已知初速度的大小 正负以及初位置的正负 已知初位置的大小 正负以及初速度的正负 例1 已知某质点振动的初位置 例2 已知某质点初速度 2 已知某质点的振动曲线求初相位 已知初位置的大小 正负以及初速度的大小 例3 已知某质点振动的初位置 注意 由已知的初条件确定初相位时 不能仅由一个初始 条件确定初相位 若已知某质点的振动曲线 则由曲线可看出 t 0 时刻质点振动的初位置的大小和正
5、负及初速度的正负 关键 确定振动初速度的正负 考虑斜率 例4 一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图 求 1 该质元的振动初相 2 该质元在态A B 时的振动相位分别是多少 2 由图知A B 点的振动状态为 由旋转矢量法知 解 1 由图知初始条件为 由旋转矢量法知 3 已知波形曲线求某点处质元振动的初相位 若已知某时刻 t 的波形曲线求某点处质元振动的初相 位 则需从波形曲线中找出该质元的振动位移 y0 的大小 和正负及速度的正负 关键 确定振动速度的正负 方法 由波的传播方向 确定比该质 元先振动的相邻质元的位移 y 比较y0 和 y 由图知 对于1 对于2 思考 若传播方向相反 时振动方向如
6、何 例5 一列平面简谐波某时刻的波动曲线如图 求 1 该波线上点A及B 处对应质元的振动相位 2 若波形图对应t 0 时 点A处对应质元的振动初相位 3 若波形图对应t T 4 时 点A处对应质元的振动初相位 解 1 由图知A B 点的振动状态为 由旋转矢量法知 2 若波形图对应t 0 时 点A 处对应质元的振动初相位 3 若波形图对应t T 4 时 点A处对应质元的振动初相位 求振动方程和波动方程 1 写出x 0处质点振动方程 2 写出波的表达式 3 画出t 1s时的波形 例1 一简谐波沿x轴正向传播 4m T 4s x 0处振动曲线如图 解 解 1 由题意知 传播方向向左 设波动方程为 由
7、旋转矢量法知 2 例2 一平面简谐波在 t 0 时刻的波形图 设此简谐波的频率 为250Hz 且此时质点P 的运动方向向下 求 1 该波的波动方程 2 在距O点为100m处质点的振动方程与振动速度表达式 例3 位于 A B两点的两个波源 振幅相等 频率都是100赫兹 相位差为 其A B相距30米 波速为400米 秒 求 A B 连线 之间因干涉而静止各点的位置 解 取A点为坐标原点 A B联线为x轴 取A点的振动方程 在x轴上A点发出的行波方程 B点的振动方程 在x轴上B点发出的行波方程 因为两波同频率同振幅同方向振动 所以相干为静止的点满足 相干相消的点需满足 可见在A B两点是波腹处 则有
8、 解 设入射波的波函数为 合振动为 例题4 如图 一平面简谐波沿ox轴正向传播 BC为波密媒质 的反射面 波由P点反射 OP 3 4 DP 6 在t 0时点O处的 质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动 求点D处入射波 与反射波的合振动方程 设振幅都为A 频率都为 入射 反射 将D点的坐标代入上式 有 所以有 故有 又由 例5 设设入射波的表达式为为 反射点为为一固定端 设设反射时时无能量损损失 求 1 反射波的表 达式 2 合成的驻驻波的表达式 3 波腹和波节节的位置 解 1 反射点是固定端 所以反射有相位突变变p 且反射波振 幅为为A 因此反射波的表达式为为 3 波腹位置 波节节位置 n
9、1 2 3 4 在x 0处发生反射 2 驻驻波的表达式 n 1 2 3 4 在均匀不吸收能量的媒质中传播的平 面波在行进方向上振幅不变 借助于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化 讨论 平面波和球面波的振幅 证明 因为 在一个周期内通过和面的能量应该相等 所以 平面波振幅相等 由于振动的相位随距离的增加而 落后的关系 与平面波类似 球 面简谐波的波函数 球面波 所以振幅与离波源的距离 成反比 如果距波源单位 距离的振幅为A 则距波源r处的振幅为 例6 一个点波源位于O点 以O为圆心作两个同心球面 半径分 别为R1 R2 在两个球面上分别取相等的面积 S 1和 S 2 则通过它们的平均能流之比
10、P 1 P2为 1 已知某简谐振动的振动曲线如图所示 位移的单位为厘米 时间的单位为秒 则简谐振动的振动方程为 C 习习 题题 2 图示为一向右传播的简谐波在 t 时刻的波形图 BC为波密 介质的反射面 P点反射 则反射波在 t 时刻的波形图为 B A B C D 3 一平面简谐波沿 x 轴负方向传播 已知 x x0 处质点的 振动方程为 若波速为u 则此波的 波动方程为 A 4 一质点同时参与了两个同方向的简谐振动 它们的振动方 程分别为 其合成运动的运动方程为 x 5 已知三个简谐振动曲线 则振动方程分别为 6 两相干波源S 1 和 S 2 的振动方程是 S 1 距P 点 6 个波长 S 2 距P 点为13 4 个波长 两波在P点的相位差的绝对值为 例 一平面简谐波沿Ox 轴的负向传播 波长为 P 处质点的 振动规律如图 求 1 P 处质点的振动方程 2 该波的波动方程 3 若图中 求坐标原点O 处质点的振动方程 解 1 设P点的振动方程为 由旋转矢量法知 2 设B点距O点为x 则波动方程为 3 法1 x 5m 处的振动方程为 反射波在该点引起的振动方程为 反射波的波函数为 法2 O点的振动方程为 反射波到达x 处引起的振动方程 即波函数为
