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1、考点21 数列的综合应用【考点分类】热点一 等差数列与等比数列的综合应用1.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】等差数列的前n项和为.已知，且成等比数列，求的通项公式.2.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】设是首项为，公差为的等差数列（），是前项和. 记，其中为实数.（1）若，且，成等比数列，证明：；（2）若是等差数列，证明.3.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. () 求数列的通项公式; () 证明. 4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】设Sn表示数列的前n项和. () 若为等差数列,
2、 推导Sn的计算公式; () 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列. 并证明你的结论.所以,是首项,公比的等比数列.5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】已知是等比数列的前项和，成等差数列，且.（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由6（2012年高考（陕西理）设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.(1)求数列的公比;(2)证明:对任意,成等差数列.解:(1)设数列的公比为() 7.（2012年高考（天津文）(本题满分13分)已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且.(I)求数列与的
3、通项公式;(II)记()证明:.8（2012年高考（湖北文）已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.(1)求等差数列的通项公式;(2)若成等比数列,求数列的前项和. 【方法总结】对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法要解决等差等比数列的综合问题，必须对两种数列的各知识点、方法熟练掌握；对非等差等比数列，可设法转化为等差、等比数列问题.常用的等差、等比对应重要性质对比如下：1.如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列；如果数列是等比数列,则数列是等差数列；2.在等差数列中，若.特别地,当时,有
4、；在等比数列中，若.特别地,当时,有；3.若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列；4.等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列；等比数列中 仍是等比数列；热点二 数列与函数相结合9.（2012年高考（四川文）设函数,是公差不为0的等差数列,则（）A0B7C14D21.10.（2012年高考（上海文）若,则在中,正数的个数是（）A16.B72.C86.D100.11（2012年高考（湖北文）定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的如下函数:;.则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）ABCD.12.【2013年普通高
5、等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】 设数列满足，,且对任意，函数 ，满足 ()求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和. （2） 13.（2012年高考（四川文）已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.()用和表示;()求对所有都有成立的的最小值;()当时,比较与的大小,并说明理由.14.（2012年高考（湖南文）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下
6、一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.()用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;()若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).来源:学科网ZXXK15.（2012年高考（大纲理）函数.定义数列如下:是过两点的直线与轴交点的横坐标.(1)证明:;(2)求数列的通项公式. 【方法总结】解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理数列与函数的迭代问题：由函数
7、迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.热点三 数列与不等式相结合16.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】在正项等比数列中，. 则满足的最大正整数的值为 .17.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】设数列的前项
8、和为.已知,.() 求的值；() 求数列的通项公式；() 证明:对一切正整数,有.18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】正项数列an的前n项和Sn满足：（1）求数列an的通项公式an；（2）令，数列bn的前n项和为Tn证明：对于任意n N*，都有Tn19.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】已知等比数列满足：，.（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】给定常数，定义函数，数列满足.（1）若，求及；（2）求证：对任意；（3）是否存在，使得成等差数列？若
9、存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.来源:学科网【方法总结】从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商) 、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点.利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩. 【考点剖析】一明确要求1熟练把握等差数列
10、与等比数列的基本运算2掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等3注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法二命题方向1考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题2考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力三规律总结一条主线数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 两个提醒(1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析
11、，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题(2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)(2)数列与不等式结合时需注意放缩(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想【考点模拟】一扎实基础1. 【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】设是公差不为0的等
12、差数列的前项和，且成等比数列，则等于( )A.1 B. 2 C. 3 D. 42. 【东北三校2013届高三4月第二次联考】已知数列为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于( )A B C D3. 【上海市奉贤2013届高三一模】已知Sn是等差数列an(nN*)的前n项和，且S6S7S5，有下列四个命题，假命题的是( )(A)公差d0(B)在所有Sn0的n的个数有11个(D)a6a7来源:学科网4. 【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】已知等比数列公比为q，其前n项和为，若成等差数列，则等于（ ）A. B.1 C.或1 D.【答案】A来源:学#科#网【解析】若，则3+
13、6=9，得=0，而等比数列任何一项都不为0，故；所以，换元解方程得=或1（舍）5. 【2013届河北省重点中学联合考试】己知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为Sn，若，则 .6. 【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】等差数列中， ，等比数列中，则_.7. 【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 .8. 【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】 在数列中，则数列中的最大项是第 项。【答案】6或79. 【上海市2013届高考闵行二模卷】公差为d，各项均为正整数的等差数列an中，若a1=1，an=73，则n+d的最小值
14、等于 .10. 【山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试】已知等差数列的前项和为，若2，4，成等比数列，则=_.二能力拔高11. 【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】已知数列是1为首项、2为公差的等差数列，是1为首项、2为公比的等比数列设， ，则当Tn2013时，n的最小值是（ ）（A）7（B）9（C）10（D）1112. 【上海市2013届高考二模卷】 数列an前n项和为Sn，已知a1=，且对任意正整数m、n，都有am+n=aman，若Sna恒成立，则实数a的最小值为 ( )(A) (B) (C) (D)413. 【上海市杨浦2013届高三一模】已知数列an是各项均为正数且公比不等于1的等比数列(nN*). 对于函数y=f(x)，若数列lnf(an)为等差数列，则称函数f(x)为“保比差数列函数”. 现有定义在(
