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1、1 第七章第七章 圆圆 一 本周教学内容 第七章 圆 三 圆和圆的位置关系 学习目标 1 掌握圆和圆的各种位置关系的概念及判定方法 2 理解并掌握两圆相切的性质定理 3 掌握相交两圆的性质定理 并完成相关的计算和证明 4 理解圆的内 外公切线概念 会计算内 外公切线长及两公切线夹角 并能根据公切线的条数确定两 圆的位置关系 5 通过两圆位置关系的学习 进一步理解事物之间是相互联系和运动变化的观点 学会在变化中寻找规 律 培养综合运用知识的能力 知识回顾 1 圆与圆的位置关系的判定方法及图形特征 两圆位置关 系 公共点个数相对关系数量关系公切线条数圆 外离0一圆在另一圆 外部 d R r4 外切
2、1除公共点外 一圆在另一圆 外部 d R r3 相交2R r d R r2 内切1除公共点外 一圆在另一圆 内部 d R r1 内含0一圆在另一圆 内部 d R r0 2 两圆相切的性质 如果两圆相切 那么切点一定在连心线上 3 两圆相交的性质 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 4 设两圆公切线长 L 两圆半径 R r 两公切线的夹角 则有 外公切线长这时 外 LdRr Rr d 22 2 sin 2 内公切线长这时 内 LdRr Rr d 22 2 sin 典型例题 典型例题 例 1 已知 O1 O2半径分别为 15cm 和 13cm 它们相交于 A B 两点 且 AB 长 24cm 求
3、 O1O2长 分析 分析 该题没有给出图形 两圆相交有两种可能性 1 两圆心在公共弦的两侧 2 两圆心在公共弦的同侧 因此 我们必须分两种情况来解 解 解 1 连结 O1O2交 AB 于 C 2 连结 O1O2并延长交 AB 于 C O1 O2交于 A B 两点 且O OABACABcm 12 1 2 12 在 Rt AO1C 中 由勾股定理 O CO AACcm 11 2222 15129 在 Rt AO2C 中 由勾股定理 O CO AACcm 22 2222 13125 如图 1 O1O2 O1C O2C 14cm 如图 2 O1O2 O1C O2C 4cm 3 例 1 是两圆相交时的一
4、题两解问题 希望引起同学们的重视 例 2 如图 O1与 O2外切于点 P AC 切 O2于 C 交 O1于 B AP 交 O2于 D 求证 1 PC 平分 BPD 2 若两圆内切 结论还成立吗 证明你的结论 证明 证明 1 过 P 点作公切线 PM 交 AC 于 M 点 AC 切 O2于 C MP MC MCP MPC 在 O1中 由弦切角定理 BPM A CPD 为 APC 的外角 CPD A MCP BPM MPC BPC PC 平分 BPD 2 两圆内切时仍有这样的结论 证明 证明 过 P 点作公切线 PM 交 AB 延长线于 M AM 切 O2于 C MC MP MPC MCP MPB
5、 A MCP 为 CPA 的外角 MCP CPA A 又 MPC MPB BPC BPC CPA 即 PC 平分 BPD 在解决有关两圆相切的问题时 过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线 利用弦切角及圆周角的 性质或切线长定理 可使问题迎刃而解 从这道题我们还可以联想到做过的两道题 当 A B 重合时 也就是 AC 成为两圆的外公切线时 PC AD 即我们书上的例题 P129 例 4 4 当 APD 经过 O1 O2时 PB AC PC 平分 BPD 的证法就更多了 例 3 如图 以 FA 为直径的 O1与以 OA 为直径的 O1内切于点 A ADF 内接于 O DB FA 于 B 交 O1
6、于 C 连结 AC 并延长交 O 于 E 求证 1 AC CE 2 AC2 DB2 BC2 分析 分析 1 易证 2 由 1 我们可联想到相交弦定理 延长 DB 交 O 于 G 即 AC CE DC CG 由垂径定理可知 DB BG 问题就解决了 证明 证明 1 连结 OG 延长 DB 交 O 于 G OA 为 O1直径 OC AE 在 O 中 OC AE AC CE 2 在 O 中 DG 直径 AF DB GB 由相交弦定理 AC CE DC CG DB BC BG BC AC CE AC2 DB2 BC2 本题中主要应用了垂径定理 相交弦定理等知识 另外 证明过程中线段代换比较巧妙 应认真
7、体会 例 4 如图 O1和 O2相交于 A B 两点 过 A 作 O1切线交 O2于点 C 过点 B 作两圆割线交 O1和 O2于 D E DE 与 AC 相交于 P 点 5 1 求证 PA PE PC PD 2 当 AD 与 O2相切且 PA 6 PC 2 PD 12 时 求 AD 的长 分析 分析 1 从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用 2 求 AD 想到用切割线定理 但 PB PE 均未知 利用相交弦定理也只能求出它们的乘积 我们连结 公共弦得两个弦切角 再连结 CE 可推出 AD CE 这样 问题就解决了 1 证明 PA 切 O1于 A PBD 为 O1割线 PAPBPDPB
8、PA PD 2 2 在 O2中 由相交弦定理 PAPCPBPEPB PAPC PE PA PD PAPC PE PAPEPCPD 2 2 连结 AB CE CA 切 O1于 A AB 为弦 CAB D O2中 CAB E D E AD CE PC PA PE PD PCPAPD 2612 PE PCPD PA 212 6 4 由相交弦定理 PBPEPCPAPB 26 4 3 BE 3 4 7 DB 12 3 9 由切割线定理 AD2 DB DE 9 9 7 AD 12 解与两圆相交的有关问题时 作两圆的公共弦为辅助线 使不同的两个圆的圆周角建立联系 沟通它 们之间某些量的关系 同学们应注意它的
9、应用 例 5 如图 已知 O 与 B 相交于点 M N 点 B 在 O 上 NE 为 B 的直径 点 C 在 B 上 CM 交 O 于点 A 连结 AB 并延长交 NC 于点 D 求证 AD NC 6 分析分析 要证 AD NC 我们可证 C CAD 90 或 DBN BND 90 这里可用到的是 NE 为直径 它 对的圆周角是直角 因此我们连结 EC 而 ECM ENM 又可利用圆内接四边形的性质得 ENM CAD 从 而得证 证明 证明 连结 EC EN 为直径 ECM ACD 90 四边形 ABNM 内接于 O CAD MNE ECM MNE CAD ACD 90 ADC 180 90
10、90 AD NC 从证明中可见点 B 在 O 上这一条件的重要性 例 6 如图 已知 DEC 中 DE DC 过 DE 作 O1交 EC DC 于 B A 过 A B C 作 O2 过 B 作 BF DC 于 F 延长 FB 交 O1于 G 连 DG 交 EC 于 H 1 求证 BF 过 O2的圆心 O2 2 若 EH 6 BC 4 CA 4 8 求 DG 的长 分析 分析 要证 BF 过 O2圆心 O2 只需证它所在弦对的圆周角是直角即可 故应延长 BF 交 O2于 M 连 CM 去证 MCA ACB 90 而连 AB 后可得 MCA 转移到 MBA 再由圆内接四边形的性质转移到 CDG 而
11、 DH EC 于是可证 1 证明 证明 延长 BF 交 O2于 M 连 MC AB 四边形 ABGD 内接于 O1 ABM ADG DG EC 于 H ADG DCH 90 ABM ACM ADG ACM ACM ACB 90 BM 为 O2直径 BF 过 O2的圆心 O2 2 解 解 四边形 ADEB 内接于 O1 CAB E DE DC E DCB CAB ACB AB BC 4 7 等腰 CBA CDE CD EC BC AC 4 48 5 6 设 CD 5k EC 6k DH EC DE DC EC 2EH 12 6k k 2 CD 10 在 Rt DHE 中 由勾股定理 DH 106
12、8 22 BH 6 4 2 由相交弦定理 DH HG EH HB HG EHHB DH 26 8 3 2 15 DG 8 1 5 9 5 例 7 如图 O1与 O2外切于点 P AB 是两圆外公切线 AB 与 O1O2延长线交于 CAPE点 延长线上一点 满足条件交 于点 AP AB AC AE PEOD 2 1 求证 AC EC 2 求证 PC EC 34 9 4 若求的值APPD BC EC 1 证明 证明 连结 BP AP AB AC AE AA APB AEC ACE APB 由例 4 结论得 APB 90 ACE 90 即 AC EC 2 证明 证明 连结 BD APB BPD 90 BD 为直径 AB 为外公切线 B 为切点 BD AC 于 B AC EC BD EC PO DPCE O D O P EC PC 2 2 2 1 PC EC 3 解 解 设 PC 交 O2于 F 连结 BF 8 在 Rt ABD 中 BP AD 由射影定理 BPAPPD 2 4 9 4 BP 3 CB 切 O2于 B CBF BPC ABP BFP BCF PCB BCFPCB BC PC BF BP ctgBFPctgABP BP AP 3 4 PC EC BC EC BC PC 3 4
