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1、2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 曲线 的斜渐近线方程为 (2) 微分方程满足的解为.(3) 设函数，单位向量，则=_.(4) 设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则_.(5) 设均为3维列向量，记矩阵，如果，那么 .(6) 从数1,2,3,4中任取一个数，记为, 再从中任取一个数，记为, 则= _ .二、选择题：7-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数，则在内( )(A) 处处可导. (
2、B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. (8) 设是连续函数的一个原函数，表示“的充分必要条件是”，则必有( )(A)是偶函数是奇函数. (B)是奇函数是偶函数.(C)是周期函数是周期函数. (D)是单调函数是单调函数. (9) 设函数, 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有( )(A) . (B) .(C) . (D) . (10) 设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程( )(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数. (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数和和. (C) 可确定两个具有连续偏导数
3、的隐函数和. (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数和. (11) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是( )(A) . (B) . (C) . (D) . (12) 设为()阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩阵, 分别为, 的伴随矩阵，则( )(A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得. (C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得. (13) 设二维随机变量的概率分布为( ) 0 1 0 0.4 1 0.1已知随机事件与相互独立，则(A) (B) (C) (D) (14) 设为来自总体的简单随机样本，为
4、样本均值，为样本方差，则( )(A) (B) (C) (D) 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分11分)设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分(16)(本题满分12分)求幂级数的收敛区间与和函数.(17)(本题满分11分)如图，曲线的方程为，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数具有三阶连续导数，计算定积分(18)(本题满分12分)已知函数在0，1上连续，在(0,1)内可导，且. 证明：(I)存在 使得；(II)存在两个不同的点，
5、使得(19)(本题满分12分)设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数.(I)证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；(II)求函数的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型的秩为2.(I) 求的值；(II) 求正交变换，把化成标准形；(III) 求方程=0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵(为常数)，且, 求线性方程组的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量的概率密度为 求：(I) 的边缘概率密度； (II)的概率密度(23)(本题满分9分)设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，记求：(I) 的方差；
6、 (II)与的协方差2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】由求斜渐近线公式(其中，)，得： =，所以所求斜渐近线方程为(2)【答案】【详解】求方程的解，有公式 (其中是常数).将原方程等价化为 ，于是利用公式得方程的通解 =, (其中是常数)由得，故所求解为(3)【答案】【详解】设有连续的一阶偏导数,为给定的向量的单位向量,则沿方向的方向导数计算公式为.因为,所以 ，且向量的于是所求方向导数为=(4)【答案】【详解】如果设函数在上具有一阶连续偏导数,则有：，其中是的整个边界曲面的外侧.以表示由与所围成的有界闭区域，由高斯公式得利用球面坐标得=(5)【
7、答案】2【详解】方法1：因为，故 =，记，两边取行列式，于是有方法2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)又因为，故.(6)【答案】【详解】 由全概率公式：=+ +表示从数1,2,3,4中任取一个数，故是等可能取到1,2,3,4，所以，而表示从中任取一个数，也就是说是等可能取到也就是说的条件下等可能取值，即(取1的条件下，取2是不可能事件)(取2的条件下，在1，2等可能取值)(取3的条件下，在1，2，3等可能取值)(取4的条件下，在1，2，3，4等可能取值)故 =+二、选择题(7)【答案】C
8、【详解】分段讨论，并应用夹逼准则，当时，有，命取极限，得，由夹逼准则得；当时，；当时，命取极限，得，由夹逼准则得所以 再讨论的不可导点. 按导数定义，易知处不可导，故应选(C).(8)【答案】A【详解】 方法1：应用函数奇偶性的定义判定，函数的任一原函数可表示为，且当为偶函数时，有，于是，即，亦即，可见为奇函数；反过来，若为奇函数，则，令，则有，所以 ，从而 为偶函数，可见(A)为正确选项.方法2：排除法，令, 则取, 排除(B)、(C); 令， 则取, 排除(D); (9)【答案】B【详解】因为， ，于是 ， ， ，可见有，应选(B).(10)【答案】D【详解】隐函数存在定理：设在点的某领域
9、内具有连续的一阶偏导数，且.则存在点的某邻域,在此邻域内由方程可以确定唯一的连续偏导数的函数满足,且同理，如果,可确定满足;,可确定满足.本题中可令, 则， ，所以 ，. 由于，所以由隐函数存在定理知，不一定能确定具有连续偏导数的函数，所以排除(A)、(B)、(C)，而和，所以可确定两个具有连续偏导数的隐函数和，故应选(D).(11)【答案】B【详解】方法1：利用线性无关的定义分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.设有数，使得，则.因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，则当时，方程只有零解，则，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(否则，与=线性
10、相关)，故应选(B).方法2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.由于 ，因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，知线性无关. 若，线性无关，则，则，故，从而，从而若，则，又线性无关，则，则从而，线性无关的充要条件是故应选(B).方法3：利用矩阵的秩分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，又，故，线性无关又因为 则(若，与矛盾)方法4：利用线性齐次方程组分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.由，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关
11、，线性无关线性无关，只有零解，又只有零解线性无关时只有零解，故，只有零解，的系数矩阵是个可逆矩阵，故应选(B)方法5：由，线性无关分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有.向量组和向量组. 显然向量组可以由向量组线性表出；当时，不论的取值如何，向量组可以由向量组线性表出， 从而，是等价向量组当时，(12)【答案】(C)【详解】方法1：由题设，存在初等矩阵(交换阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得，(进行行变换，故左乘初等矩阵)，于是 ，又初等矩阵都是可逆的，故 ，又(行列式的两行互换，行列式反号)，故，即,可见应选(C).方法2：交换的第一行与第二行得，即. 又因为是可逆阵
12、，故，所以可逆，且.又，故，又因，故.(13)【答案】B【详解】方法1：由二维离散型随机变量联合概率分布的性质， 有，可知，又事件与相互独立，于是由独立的定义有：，而 由边缘分布的定义： 代入独立等式，得，解得，方法2：如果把独立性理解为：(因为独立，所以发生与发不发生没有关系)，即所以 ;因此 上式两边同乘以，有由乘法公式：，上式即为即. 又因为，得.(14)【答案】D 【概念】分布的定义：若，则 分布的定义：若相互独立，且都服从标准正态分布，则正态分布标准化的定义：若，则【详解】因为来自总体的简单随机样本，独立正态分布的线性组合也服从正态分布，故.将其标准化有：，故(A)错又，故(C)错;而，不能断定(B)是正确选项. 又 ，且相互独立，于是 故应选(D).三、解答题(15)【详解】方法1：令 ，.于是有 从而 =(二重积分对区域的可加性)(用极坐标把不同区域上的二重积分化为累次积分)(根据牛莱公式) (凑微分)=方法2：用极坐标(根据牛莱公式).而 从而 (定积分对区域的可加性)(根据牛莱公式)(16)【详解】因为，所以，由比值判别法知，当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1). 另外，当时由于通项极限不为零，故原幂级数在处为发散的.，对，由等比级数求和公式得， 对，则由
