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1、本讲不着重讨论进制中运算问题，我们是关心这个数字，即为几进制对于进位制我们要注意本质是：进制就是逢进一 但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制1计算：(234)+(656)【分析与解】 我们必须注意到7进制的运算必须是逢7进l，如下：于是，和为(1223)2在几进制中有413=100【分析与解】 我们利用尾数分析来求解这个问题：不管在几进制均有(4)(3)=(12)但是，式中为100，尾数为0 也就是说已经将12全部进到上一位 所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2 但是出现了4，所以不可能是4，3，2进制 我们知道(
2、4)(13)=(52)，因52 100，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是我们知道10 所以，只能是63在几进制中有125125=16324 【分析与解】 注意(125)(125)=(15625)，因15625 16324，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以， 10 我们再注意尾数分析，(5)(5)10=(25)，16324的末位为4，于是25-4=21进到上一位 所以说进位制为2l的约数，也就是2l，7，3 因为出现了6，所以只能是74在三进制中的数12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几? 【分析与解】 我们如
3、果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大 注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了3个3，于是为9所以变为遇9进1也就是九进制 于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表： 12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3进制 5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 9进制 所以，首位为5 评注：若原为进制的数，转化为进制，则从右往左数每个数一组化为进制 如：2进制转化为8进制，2=8，则从右往左数每3个数一组化为8进制 10 100 001 101 2进制 2 4 1 5 8进制 (10100001101)=(2415)5在7进制中有三位数，化为9进制为
4、，求这个三位数在十进制中为多少? 【分析与解】 我们还原为十进制()=72+7+=49+7十；()=92+ 9+=81+9+ 于是49+7+=81+9+；48=80+2，即24=40+； 因为24是8的倍数，40也是8的倍数，所以也应该是8的倍数 于是=0或8，但是在7进制，不可能有8这个数字 于是=0，所以24=40，则3=5；所以为5的倍数，为3的倍数所以，=0或5，但是，首位不可以是0，于是=5, =3；所以() =(503) =549+3=248.于是，这个三位数在十进制中为2486在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少? 【分析与解】 ()=626+=36+6
5、+； ()=92+9+=81+9+ 所以36+6+=81+9+；于是35=3b+80； 因为35是5的倍数，80也是5的倍数所以3也必须是5的倍数，又(3，5)=1 所以，=0或5 当=0，则35=80；则7=16；(7，16)=1，并且、0，所以=16，=7： 但是在6,9进制，不可以有一个数字为16 当=5，则35=35+80；则7=3+16；mod 7后，3+20 所以=2或者2+7(为整数)因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是=2 于是，35=15+802；=5 于是() =(552)=562+56+2=212 所以这个三位数在十进制中为2127N是整数，它的进制表示是77
6、7，求最小的正整数，使得N是十进制整数的四次方 【分析与解】我们将进制中数改写为10进制，则(777)=72+7+7； 则有72+7+7=， 我们知道N是7的倍数，所以也是7的倍数，又7为质数，所以是7的倍数 于是，令=7，则72+7+7=2401,则2+1=343； 当1时，6。2+1=343，(+1)=342，则=18； 因为最小，所以也是最小的 所以有最小在18进制有(777)=(7)8设1987可以在进制中写成三位数，且=1+9+8+7，试确定出所有可能的、及 【分析与解】 我们注意 -得：(-1)+(-1)=1987-25 则(-1)(+1)+(-1)=1962， 即(-1)(+1)
7、+=1962 所以，1962是(-1)的倍数 1962=29109：当-1=9时，=10，显然不满足； 当-1=18时，=19，则（-1)(+1)+=18(20+)=1962；则20+=109，所以， 显然，当=109不满足，=2109不满足，当=9109也不满足 于是为(59B)=(1987)，B代表119.(1)证明10201在大于2的任何进制的记数法中，都是一个合数 (2)证明10101在任何进制的记法中，都是一个合数 【分析与解】 (1)设在进制，则(10201)=l+2+1=(+1)；所以不管在何进制，均是一个非1的完全平方数，当然是一个合数 (2)设在进制，则(10101)=1+1
8、+1=(+1) -=(+1-)(+1+)；可以将其表达为两个均不为1的整数乘积，显然合数10下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、C、D的和为多少? 【分析与解】 于是，我们知道=4，所以为4进制，则 A+B+C+D=3+1+2+0=611称个相同的数相乘叫做的次方，记做，并规定0=1如果某个自然数可以写成2的两个不同次方(包括零次方)的和，我们就称这样的数为“双子数”，如9=23+20，36=2+22它们都是双子数，那么小于1040的双子数有多少个? 【分析与解】 我们注意到与二进制的联系：(9=23+20)=(1001)2，(36=2+22)=(10010
9、0)2， 写成2的两个不同次方(包括零次方)的和，这样的数改写为二进制后只含有2个1，我们知道： (1040=2+24)=(10000000000+10000)2=(10000010000)2， 这样二进制为11位数，但是11位数有限制； 我们先看10位数，于是( * * * * * * * * * * )，这样10位数，选择2个数位填1，其他为0，所以为； 再考虑11位数，于是(1000001 * * * * )，只有4个“*”和紧邻的“1” 于是有5种选择； 所以，共有+5=50种选择方法 所以这样的“双子数”为50个12. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码l的个数是偶数，则称之为
10、“坏数”.例如：18=（10010）2是“坏数”试求小于1024的所有坏数的个数. 【分析与解】 我们现把1024转化为二进制： (1024)=2=(10000000000)2 于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况 并且，我们把不足10位数的在前面补上0，如=则，可以含2个l，4个1，6个1，8个l，10个1于是为=45+210+210+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个. 13计算：7的余数 【分析与解】=7=(111)2 ,所以7=(111)2(111)2整除(111)2，20033=6672，所以余(11)2=3所以余数为314计算：26的余数 【
11、分析与解】= 26=(222)所以，26=(222)(222)整除(222)，20033：6672，所以余(22)=8所以余数为815试求(2-1)除以992的余数是多少? 【分析与解】 我们注意到被除数与2的次幂有关，所以，我们试图通过2进制来解决 我们通过左式的短除法，或者直接运用通过2次幂来表达为2进制：(992)=(1111100000)2，(2-1)2=我们知道在2进制中一定能整除(1111100000)2，于是我们注意到，所以= 因为能整除(1111100000)2， 所以余数为(111111)2=2+24+23+22+21+1=63，所以原式的余数为6316一个10进制的三位数，
12、把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了2个三位数老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5，那这样的三位数一共有多少个? 【分析与解】 我们设(3)=(4)=(5)； 我们知道(4) 在(400)(488)之间，也就是492592-1，也就是324406； 还知道(5) 在(500)(577)之间，也就是582682-1，也就是320383； 又知道(3) 在(300)(399)之间 所以，这样的三位数应该在324383之间，于是有383-324+1=60个三位数满足条件.17. 三个两位数恰构成公差为6的等差数列，而在五进制的表示中,这三个数的数字和是依次减少的那么符合这样要求的等
13、差数列有多少个? 【分析与解】 6写成5进制为(11)，设等差数列中最小的那个数表达为5制为()，最大可为(322)=99-62=87，最小可为(20)=1O 那么有()、()+(11)、()+(22)的数字和依次减少 所以()+(11)、()+(22)在运算时均必须有进位，不难发现有(24)、(43)满足，而可以取0，1，2，于是共有6组符合要求的数列18. 一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以前各天的总和 如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天? 如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天? 【分析与解】 我们注意到每天12348163264前若干天的和220042前1天为1，前2天为
