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1、圆锥曲线中的定值与最值问题一.圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点解决这个难点的基本思想是函数思想，可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求的定值具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去变量即得定值在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该变量具有定值特征解答此类问题的基本策略有以下两种：1、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关2、把相关几何量用曲线系里的参变量表示，
2、再证明结论与求参数无关例1：过抛物线：（0）的焦点作直线交抛物线于两点，若线段与的长分别为，则的值必等于（ ）A. B. C. D.解法1：（特殊值法）令直线与轴垂直，则有：，所以有解法2：（参数法）如图1，设，且，分别垂直于准线于，抛物线（0）的焦点，准线 ：又由，消去得， 例2：过抛物线（0）上一定点0），作两条直线分别交抛物线于，求证：与的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为非零常数【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为由 相减得，故 同理可得， 由倾斜角互补知： 由 相减得， 直线的斜率为非零常数例3：已知定点在抛物线：（0）上，动点且求证：弦必过一定点【解析】设所在直线方程为：与抛物线
3、方程联立，消去得设，则 由已知得，即 式可化为，即将代入得，直线方程化为：直线恒过点【例4】(2012湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y03)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值审题视点 (1)直接根据曲线与方程的概念求解，或者转化为根据抛物线的定义求解均可；(2)首先建立圆的两条切线的斜率与点的坐标之间的关系，其次把圆的切
4、线方程与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之积，最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证(1)解法一设M的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆C2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以x5.化简得曲线C1的方程为y220x.法二由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线故其方程为y220x.(2)证明当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4，y0)，又y03，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4
5、)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程的两个实根，故k1k2.由得k1y220y20(y04k1)0.设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程的两个实根，所以y1y2.同理可得y3y4.于是由，三式得y1y2y3y46 400.所以，当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6 400.【例5】已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（）求椭圆C的方程；（）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直
6、线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解（1）设椭圆的方程为。，。椭圆的方程为。（2）取得，直线的方程是直线的方程是交点为若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为。以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。设与交于点由得设与交于点由得， ，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。1、若AB是过椭圆中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM,BM与坐标轴不平行,分别表示直线AM,BM的斜率,则=( ) A. B. C. D.2、已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1PF2
7、，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 A.+=4B.+=2C.e12+e22=4D.e12+e22=23.过点M(p,0)任作一条直线交抛物线y2=2px(p0)于P、Q两点,则+的值为( ) A. B. C. D.4.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，点M是A1B1的中点，若|AF|=m，|BF|=n，则|MF|= ( ) A.m+n B. C. D.mn5.经过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一条直线与该抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则y1y2的值为( ) A.2p2
8、B.p2 C.-2P2 D.-p26.椭圆=1(ab0)上两点A、B与中心O的连线互相垂直，则的值为（ ） A. B. C. D.7.过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1、P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k10),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为（ ） A.2B.-2 C. D. 8.已知F1、F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,当F1PF2的面积为1时,的值为_. 9.设上的两点，已知向量，,若mn=0且椭圆的离心率短轴长为2，O为坐标原点. (1)求椭圆的方程；（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB
9、的斜率k的值；（3）试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.10.已知,椭圆C经过点A(1,),两个焦点为(1,0),(1,0). (1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.11.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值1.【解析】本题可用特殊值法不妨设弦AB为椭圆的短轴M为椭圆的右顶点，则A(0，b)，B(0，b)，M(a，0)所以故选B2.【答
10、案】B 设椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2,焦距均为2c,|PF2|=a1+a2,|PF1|=a1-a2.PF1与PF2垂直,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,2a12+2a22=4c2.+=23.【解析】不妨取PQx轴,则P(p,p),Q(p,-p),|MP|=p,|MQ|=p. +=.4.【答案】答案：C【解析】本题考查抛物线的定义及性质和图像等知识.如图,连接AlF、BlF,由抛物线的定义,有AAl=AF,BBl=BF,则有AA1F=AFA1,BB1F=BFB1,容易证明AlFB1=90.所以MF为直角三角形A1FB1斜边上的
11、中线.故在直角梯形AA1B1B中,构造直角三角形可解得|A1B1|=5.【解析】本题考查直线与抛物线的交点个数问题，注意将交点坐标转化为方程的根来讨论.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为(，0)，设过焦点的直线方程为：y=k(x-),则有，代入抛物线方程有：y2=2P()即 y1y2=-p2.6.解析:假设A、B为椭圆的长轴和短轴的顶点，则=.排除选项A、B、C，选D.7.【解析】设P1(x1,y1)、P2(x2,y2),中点P(x0,y0),则k1=,k2=. 将P1、P2两点坐标代入椭圆方程x2+2y2=2,相减得=-. k1k2= =-.8.答案：0 由已知F1(,0),F2(,
12、0),P(),PF1的斜率k1=,PF2的斜率k2=,k1k2=-1,PF1PF2,即=0.9.解：（1）由题意知 椭圆的方程为 （2）由题意，设AB的方程为由已知mn=0得： (3) （1）当直线AB斜率不存在时，即,由mn=0得又 在椭圆上，所以，所以S =所以三角形AOB的面积为定值 （2）.当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b, 由 所以三角形的面积为定值.10.解:(1)由题意,c1,可设椭圆方程为,因为A在椭圆上,所以,解得b23,所以椭圆方程为.(2)设直线AE方程:,代入得(3+4k2)x2+4k(32k)x+4()2120.设E(xE,yE),F(xF,yF),因
13、为点A(1,)在椭圆上,所以,.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以k代k,可得,.所以直线EF的斜率,即直线EF的斜率为定值,其值为. 11.解：（1）设椭圆方程为则直线AB的方程为，代入，化简得.令A（），B），则由与共线，得又，即，所以，故离心率（2）证明：（1）知，所以椭圆可化为设，由已知得 在椭圆上，即由（1）知=0又，代入得故为定值，定值为1二.解析几何中的最值、范围问题或探索性问题1.必备知识(1)有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2| |x2x1|或|P1P2|y2y1|，其中求|x2x1|与|y2y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形：|x2x1| ； |y2y1| .(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算(3)圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有|OP|b，a； |
