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1、例 2014年河南省中考第23题如图1，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1, 0)、B(5, 0)两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作PFx轴于点F，交直线CD于点E设点P的横坐标为m（1）求抛物线的解析式；（2）若PE5EF，求m的值；（3）若点E是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由 图1动感体验请打开几何画板文件名“14河南23”，拖动点P运动，可以体验到，PE与EF的比值，有两个时刻等于5当点E落在y轴上时，四边形PECE是菱形思路点拨1用含有m的式子表示PE
2、、EF的长，注意EF存在两种情况2第（3）题我们这样来思考：假如点E落在了点C上方的某个位置，那么EC E其实是确定的，作角平分线就得到了点P的位置点P确定了，就可以确定点E、E的准确位置此时比较容易观察到菱形PECE根据ECEP解方程的时候，转化为m的四次方程，把这个四次方程用开平方法转化为两个二次方程解得到m的四个根这四个根的几何意义是当点E在C上方时，角平分线所在直线与抛物线有两个交点；当点E在C下方时，角平分线所在直线与抛物线也有两个交点注意舍去x轴下方的解满分解答（1）因为抛物线yx2bxc与x轴交于A(1, 0)、B(5, 0)两点，所以y(x1)(x5)x24x5（2）点P的横坐
3、标为m，那么P(m,m24m5)，E(m,)，F(m, 0)所以若PE5EF，存在两种情况：如图2，当E在F上方时，解方程，得m2，或（点P在x轴下方，舍去）如图3，当E在F下方时，解方程，得，或（点P在x轴下方，舍去）图2 图3（3）点P的坐标为，或，或考点伸展第（3）题的思路是这样的：如图4，当点E落在y轴上时，四边形PECE是菱形这是因为：根据对称性，CECE，PCEPCE又因为PE/CE，所以PCECPE所以PCECPE所以CEPE所以四边形PECE是平行四边形所以四边形PECE是菱形由E(m,)、C(0, 3)，得而，由EPEC，可得两个方程：解方程，得，或m4（如图4所示）解方程，
4、得，或（点P在x轴下方，舍去）（如图5所示）图4 图5例 2014年连云港市中考第26题已知二次函数yx2bxc，其图像抛物线交x轴于A(1, 0)、B(3, 0)两点，交y轴于点C直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与A、B重合）（1）求此二次函数关系式；（2）若直线l1经过抛物线的顶点D，交x轴于点F，且l1/l，则以C、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若过点A作AGx轴，交直线l于点G，联结OG、BE，试证明OG/BE动感体验请打开几何画板文件名“14连云港26”，拖动点E在抛物线上运动，可以体验到，以C、D、E、F为顶点的
5、四边形有四次机会成为平行四边形思路点拨1四个点C、D、E、F中，C、D是确定的，以CD为分类标准，分两种情况讨论平行四边形CD为对角线时，CF/ED；CD为边时，CD/EF2在坐标平面内，如果有平行线，那么构造直角边与坐标轴平行的直角三角形，通过三角比进行运算比较简便满分解答（1）因为抛物线yx2bxc交x轴于A(1, 0)、B(3, 0)两点， 所以y(x1)(x3)x24x3（2）由yx24x3(x2)21，得顶点D的坐标为(2,1)如图1，如果CF/ED，过点E作x轴的垂线，过点D作x轴的平行线，两条直线交于点H，那么EDHCFO所以EHCO3，DHFO设FO的长为m，那么点E的坐标可以
6、表示为(2m, 2)将E(2m, 3)代入y(x2)21，得m212解得m所以点E的坐标为(2, 2)（如图1），或(2,2)（如图2）图1 图2如图3，如果CD/EF，那么EFNCDM因此ENCM4，FNDM2设OFm，那么点E的坐标可以表示为(m2, 4)所以(m4)214解得m4所以点E的坐标为(2, 4)（如图3），或(2,4)（如图4）图3 图4（3）如图5，设点E的坐标为(x, x24x3)过点G、E分别向y轴作垂线，垂足分别为G、E，那么所以解得yGx1过点E作EKx轴于K因为，所以因此tanEBKtanGOA所以EBKGOA，OG/BE图5考点伸展第（3）题也可以这样思考：如图
7、5，设过点C(0, 3)的直线l的解析式为ykx3联立抛物线的解析式yx24x3，可以将点E的坐标表示为(k4, k24k3)点G是直线x1和直线ykx3的交点，所以G(1,k3)于是，所以例 2014年日照市中考第24题已知抛物线经过A(2, 0)，顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求b的值，求出点P、B的坐标；（2）如图1，在直线上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使AMPAMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“14日照24”，拖动点D
8、运动，可以体验到，四边形OPBD可以成为平行四边形拖动点M运动，可以体验到，当AMPAMB时，点M落在BAP的平分线上思路点拨1有平行四边形，必然可以构造出两个全等的直角三角形，直角边与坐标轴平行2AMP与AMB有公共边AM，如果AMPAMB，那么直线AM就是对称轴满分解答（1）将A(2, 0)代入， 得解得所以因此，（2）如图2，过点P作PEx轴，垂足为E由于tanOBP，所以BP与直线平行因此当BD/PO时，四边形OPBD为平行四边形因此ODPB过点D作DFx轴，垂足为F因为BPOD，所以DFPE，OFBE2所以点D的坐标为图2 图3 图4（3）如图4，由A(2, 0)、，得AB4，AP所
9、以ABAP因此BAP的平分线与抛物线的交点M，就满足AMPAMB考点伸展第（3）题也可以用方程来解：设点D的坐标为由ODPB，得OD2PB2所以x23x216解得x2当x2时，如图2所示。但是当x2时，如图3所示，四边形ODPB是平行四边形，而不是四边形OPBD例 2014年陕西省中考第24题如图1，已知抛物线C：yx2bxc经过A(3,0)和B(0, 3)两点将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到抛物线C，抛物线C的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N如果以点M、N、M、N为顶点的四边形是面积为16的平行
10、四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？图1动感体验请打开几何画板文件名“14陕西24”，拖动右侧的点M上下运动，可以体验到，以点M、N、M、N为顶点的平行四边形有四种情况思路点拨1抛物线在平移的过程中，MN与MN保持平行，当MNMN4时，以点M、N、M、N为顶点的四边形就是平行四边形2平行四边形的面积为16，底边MN4，那么高NN43MN4分两种情况：点M在点N的上方和下方 4NN4分两种情况：点N在点N的右侧和左侧满分解答（1）将A(3,0)、B(0, 3)分别代入yx2bxc，得 解得b2，c3所以抛物线C的表达式为yx22x3（2）由yx22x3(x1)24，得顶点M的坐标为(1,4
11、)（3）抛物线在平移过程中，MN与MN保持平行，当MNMN4时，以点M、N、M、N为顶点的四边形就是平行四边形因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN4那么以点M、N、M、N为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNNM（如图2）；抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNNM（如图2）；抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN（如图3）；抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNMN（如图3）图2 图3考点伸展本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么MMD的面积S关于m有怎样的函数关系？如图4，MMD是等腰三角形，由M(1,4)、M(1m, 4)，可得点D的横坐标为将代入y(x1)24，得所以DH所以S图48精品文档
