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1、北京理工大学 车辆工程 王路 基于基于 9999 行行程序的拓扑优化学习报告程序的拓扑优化学习报告 一 背景和前言 一 背景和前言 随着汽车工业的飞速发展以及日益突出的能源问题 汽车工业面临的挑战以 及竞争环境也越来越激烈 对汽车产品提出了降低其制造成本及燃油经济性的新 要求 在提高汽车安全性 减少汽车排放和解决能源消耗的背景下 提出了汽车 轻量化技术 实现汽车轻量化的途径包括三个方面 结构优化技术 新型材料和 先进性制造工艺 其中 我们所讨论的是结构优化技术 其中结构优化设计分为 三个层次 尺寸优化 Size Optimization 形状优化 Shape Optimization 和拓 扑
2、优化 Topology Optimization 本文我们基于 99 行 matlab 程序初步学习拓扑 优化技术中的理论和优化方法 拓扑优化技术指的是在给定的设计空间内寻求最佳的材料布局 同时在满足 平衡方程 物理关系 几何关系和边界约束条件下使得结构达到某种性能最优的 应用技术 拓扑优化的理论研究最早可以追溯到 Michel 提出的桁架理论 连续体结构 的拓扑优化由于描述和数值计算得困难 发展一直相对缓慢 直到 Bendsoe 和 Kikuchi 在 1988 年提出的均匀化方法之后才得到迅速的发展 其基本思想是在组 成拓扑结构中引入微结构 通过微结构的几何参数作为设计变量 通过微结构的
3、增加和删减实现结构的拓扑形状的改变 实现拓扑优化和尺寸优化的统一 在微结构的基础上 我们介绍变密度法的应用 变密度法是在均匀化方法的 基础上产生的 把材料引入微结构代之以密度在 0 1 之间变化的假想材料 把密 度作为设计变量 从而实现材料的删减 因其模型简单 计算变量相对较少成为 目前广泛采用的方法 根据不同的插值模式 变密度法又有不同的插值模型 SIMP 法 Solid Isotropic Material with Penalization Hashin Shtrikman 法 以及 RAMP 法 Rational Approximation of Material Properties
4、 二 拓扑优化问题的描述 二 拓扑优化问题的描述 1 材料插值模型 材料插值模型 变密度理论的材料插值模型通过引入中间密度单元 将离散型问题转化成连续型优化问 题 而实际上 中间密度单元是无法存在和制造 因此要尽量避免中间密度单元的产生 减 少中间密度单元的数目 此时就需要对设计变量中出现的中间密度值进行惩罚 北京理工大学 车辆工程 王路 目前材料插值模型主要分为两类 SIMP 法和 RAMP 法 基于 SIMP 格式的 材料插值模型为 0 1 0 imin p imini xEExExE 1 其中 E xi 插值以后的弹性模量 0 E 实体部分材料的弹性模量 min E 孔洞部分材料的弹性模
5、量 i x 单元相对密度 取值为 1 时表示有材料 为 0 时表示无材料即孔洞 p 惩罚因子 在本文中 在本篇文章中 讨论的 SIMP 的表达为 0 p i ji j ExxE 2 其中 i j x为第i个子域内第j个单元的相对密度 2 数学数学模型模型 根据在体积或质量约束下求最小柔度 即最大刚度来建立优化模型 基于 变密度理论的 SIMP 法的周期性拓扑优化问题的数学模型可以表达为 find RxxxxX T ji 312111 mi 21 nj 21 min m i m i n j ji T ji p ji n j jiji T ji T ukuxukuKUUFUXC 111 0 1 t
6、 s FKU m i n j jiji xfVV 11 0 10 max min xxx ji 其中 X 单元相对密度矢量 C 结构的柔度 F 载荷矢量 U 位移矢量 北京理工大学 车辆工程 王路 k 结构刚度矩阵 ji u 单元位移矢量 ji k 单元刚度矩阵 0 k 初始段元刚度矩阵 ji 单元体积 V 优化后的体积 f 保留的体积分数 0 V 初始体积 min x 设计变量的取值下限 max x 设计变量的取值上限 n 子域内单元的个数 三 三 程序程序解读解读 99 行程序主要包括主函数 OC 优化准则 网格过滤 有限元分析 灵敏 度分析 5 个部分 其流程图为 北京理工大学 车辆工程
7、 王路 设计域的离散化和 程序参数的初始化 主程序 调用有限元分析求 解子程序 灵敏度分析子程序 网格过滤子程序 OC优化准则优化设 计变量 是否满足精度要求 否 结束循环 是 位移U dc dc new x new 图 1 99 行程序的流程图 具体程序分析 总体程序为 A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND JANUARY 2000 CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED September 2002 BY OLE SIGMUND function top nelx nely volfrac pen
8、al rmin nelx 80 nely 20 volfrac 0 4 penal 3 rmin 2 INITIALIZE 北京理工大学 车辆工程 王路 x 1 nely 1 nelx volfrac loop 0 change 1 START ITERATION while change 0 01 loop loop 1 xold x FE ANALYSIS U FE nelx nely x penal OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANALYSIS KE lk c 0 for ely 1 nely for elx 1 nelx n1 nely 1 e
9、lx 1 ely n2 nely 1 elx ely Ue U 2 n1 1 2 n1 2 n2 1 2 n2 2 n2 1 2 n2 2 2 n1 1 2 n1 2 1 c c x ely elx penal Ue KE Ue dc ely elx penal x ely elx penal 1 Ue KE Ue end end FILTERING OF SENSITIVITIES dc check nelx nely rmin x dc DESIGN UPDATE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD x OC nelx nely x volfrac dc P
10、RINT RESULTS change max max abs x xold disp It sprintf 4i loop Obj sprintf 10 4f c Vol sprintf 6 3f sum sum x nelx nely ch sprintf 6 3f change PLOT DENSITIES 北京理工大学 车辆工程 王路 colormap gray imagesc x axis equal axis tight axis off pause 1e 6 end OPTIMALITY CRITERIA UPDATE function xnew OC nelx nely x v
11、olfrac dc l1 0 l2 100000 move 0 2 while l2 l1 1e 4 lmid 0 5 l2 l1 xnew max 0 001 max x move min 1 min x move x sqrt dc lmid if sum sum xnew volfrac nelx nely 0 l1 lmid else l2 lmid end end MESH INDEPENDENCY FILTER function dcn check nelx nely rmin x dc dcn zeros nely nelx for i 1 nelx for j 1 nely s
12、um 0 0 for k max i floor rmin 1 min i floor rmin nelx for l max j floor rmin 1 min j floor rmin nely fac rmin sqrt i k 2 j l 2 sum sum max 0 fac dcn j i dcn j i max 0 fac x l k dc l k end end 北京理工大学 车辆工程 王路 dcn j i dcn j i x j i sum end end FE ANALYSIS function U FE nelx nely x penal KE lk K sparse
13、2 nelx 1 nely 1 2 nelx 1 nely 1 F sparse 2 nely 1 nelx 1 1 U zeros 2 nely 1 nelx 1 1 for elx 1 nelx for ely 1 nely n1 nely 1 elx 1 ely n2 nely 1 elx ely edof 2 n1 1 2 n1 2 n2 1 2 n2 2 n2 1 2 n2 2 2 n1 1 2 n1 2 K edof edof K edof edof x ely elx penal KE end end DEFINE LOADS AND SUPPORTS HALF MBB BEAM
14、 F 2 nelx 2 1 nely 1 1 1 fixeddofs 2 nely 2 1 2 nelx nely 1 2 nely 2 1 alldofs 1 2 nely 1 nelx 1 freedofs setdiff alldofs fixeddofs SOLVING U freedofs K freedofs freedofs F freedofs U fixeddofs 0 ELEMENT STIFFNESS MATRIX function KE lk E 1 北京理工大学 车辆工程 王路 nu 0 3 k 1 2 nu 6 1 8 nu 8 1 4 nu 12 1 8 3 nu
15、 8 1 4 nu 12 1 8 nu 8 nu 6 1 8 3 nu 8 KE E 1 nu 2 k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 2 k 1 k 8 k 7 k 6 k 5 k 4 k 3 k 3 k 8 k 1 k 6 k 7 k 4 k 5 k 2 k 4 k 7 k 6 k 1 k 8 k 3 k 2 k 5 k 5 k 6 k 7 k 8 k 1 k 2 k 3 k 4 k 6 k 5 k 4 k 3 k 2 k 1 k 8 k 7 k 7 k 4 k 5 k 2 k 3 k 8 k 1 k 6 k 8 k 3 k 2 k 5 k 4 k 7 k
16、6 k 1 根据程序的运行的先后顺序 依次详细分析各行程序 function top nelx nely volfrac penal rmin nelx 80 x 轴方向的单元数目 nely 20 y 轴方向的单元数目 volfrac 0 4 体积比 这个参数是用来确定保留的材料量 penal 3 材料插值的惩罚因子 由于变密度理论的材料插值模型引入中 间密度单元 所以将离散型问题转化成连续型优化问题 而在实际过程中 是 无法存在和制造的 所以要尽量避免中间密度单元的产生 减少中间密度单元 的数目 所以需要对中间密度值进行惩罚 penal 是惩罚因子 rmin 2 灵敏度过滤的过滤半径 关于体积比 惩罚因子和过滤半径不同引起结果的不同 我们将在之后的讨论 中进行 以上是初始化参数的程序段 x 1 nely 1 nelx volfrac x 是设计变量 为某一个单元的相对密度 在此 给出整体网格编排的顺序表 北京理工大学 车辆工程 王路 图 2 整体网格编排顺序表 故对于整个网格 在垂直方向上 有 nely 个单元 在水平方向上 有 nelx 个单元 loop 0 存放迭代次数的变量 c
