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1、 第四章无约束优化方法 一 概述二 最速下降法 梯度法 三 牛顿型方法 牛顿法和阻尼牛顿法 四 共轭方向和共轭方向法五 共轭梯度法六 变尺度法七 坐标换法 实际中的工程问题大都是在一定限制条件下追求某一指标为最小 属于约束优化问题 为什么要研究无约束优化问题 1 有些实际问题 其数学模型本身就是一个无约束问题 2 通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础 3 约束优化问题的求解可用通过一系列无约束优化方法来达到 所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分 也是优化方法的基础 1 无约束优化问题 求维设计变量使目标函数 而对没有任何限制条件 2 求解方法 1 利用极值条件来
2、确定极值点的位置 2 数值计算方法 搜索方法 基本思想 从给定的初始点出发 沿某一搜索方向 进行搜索 确定最佳步长 使函数值沿 下降 最大 依此方式不断进行 形成迭代的下降算法 一 概述 3 算法框图 4 无约束优化方法的分类 根据确定其搜索方向方法不同 可分为 2 利用目标函数的一阶或二阶导数的无约束优化方法 或称间接法 如 最速下降法 梯度法 共轭梯度法 牛顿法及变尺度法 间接法除了要计算目标函数值外 还要计算目标函数的梯度 有的还要计算其海赛矩阵 1 只利用目标函数值的无约束优化方法 或称直接法 即不使用导数信息 如 坐标换法 单形替换法及鲍威 Powell 法 直接法不必求函数导数 只
3、计算目标函数值 适用于求解变量个数较少 小于20 的问题 一般情况下效率较低 搜索方向的构成问题是无约束优化方法的关键 二 最速下降法 梯度法 1 基本思想 函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向 将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题 即利用负梯度作为搜索方向 故称为最速下降法或梯度法 搜索方向取该点的负梯度方向即 使函数值在该点附近的范围内下降最快 2 最速下降法的原理 1 使 按此规律不断走步 形成迭代算法 2 其步长因子取一维搜索的最佳步长 即 根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式 得 或 由此可知 在最速下降法中 相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂
4、直 而搜索方向就是负梯度方向 因此相邻两个搜索方向互相垂直 这就是说在迭代点向函数极小点靠近的过程 走的是曲折的路线 形成 之 字形的锯齿现象 而且越接近极小点锯齿越细 最速下降法的搜索路径 函数梯度为局部性质 因此并非 最快 梯度法的迭代历程 方法特点1 初始点可任选 每次迭代计算量小 存储量少 程序简短 即使从一个不好的初始点出发 开始的几步迭代 目标函数值下降很快 然后慢慢逼近局部极小点 2 任意相邻两点的搜索方向是正交的 它的迭代路径为绕道逼近极小点 当迭代点接近极小点时 步长变得很小 越走越慢 最速下降法的程序框图 例 求目标函数 的极小点 解法1 取初始点 则初始点处的函数值 及梯
5、度分别为 为一维搜索最佳步长 应满足极值必要条件 则第一次迭代设计点位置和函数值 经过10次迭代后 得到最优解 该问题的目标函数的等值线为一族椭圆 迭代点走的是一段锯齿形路线 解法2 引入变化 则目标函数 变为 经过坐标 尺度 变化后 只需要经过一次迭代 就可找到最优解 不同等值线的迭代过程 讨论 可以看出二者的对角形矩阵不同 前者的等值线为一族椭圆 后者的等值线为一族同心圆 这说明对角形矩阵是表示度量的矩阵或者是表示尺度的矩阵 最速下降法的收敛速度和变量的尺度有很大关系 3 最速下降法收敛速度的估计式 的海赛矩阵最大特征值上界 的海赛矩阵最小特征值下界 梯度法的特点 1 理论明确 程序简单
6、对初始点要求不严格 2 对一般函数而言 梯度法的收敛速度并不快 因为最速下降法仅仅是指某点的一个局部性质 3 梯度法相邻两次搜索方向的正交性决定了迭代全过程的搜索路径呈锯齿形 在远离极小点时逼近速度较快 而在接近极小点时逼近速度较慢 4 梯度法的收敛速度与目标函数的性质密切相关 对于等值线 面 为同心圆 球 的目标函数 一次搜索即可达到极小点 三 牛顿型方法 基本思想 在领域内用一个二次函数来近似代替原目标函数 并将的极小值作为目标函数求优的下一个迭代点 经多次迭代 使之逼近目标函数的极小点 对于多元函数 设 为 极小点 的第一 个近似点 泰勒展开 保留到二次项 得 设 为 的极小点 它作为
7、极小点 的下一个近似点 根据极值必要条件 即 海赛矩阵 1 牛顿法 对于二次函数 海赛矩阵是常矩阵 故从任何点出发 只需一步可找到极小点 多元函数求极值的牛顿法迭代公式 例 用牛顿法求的极小值 解 取初始点 则 代入牛顿法迭代公式可得 从而经过一次迭代即求得极小点和函数极小值 2 阻尼牛顿法 把 看作一个搜索方向 称其为牛顿方向 则阻尼牛顿法的迭代公式为 阻尼因子 即沿牛顿方向进行一维搜索的最佳步长 可通过如下极小化过程求得 1 阻尼牛顿法的迭代公式 在牛顿法中 迭代点的位置是按照极值条件确定 并未含有沿下降方向搜寻的概念 因此采用牛顿迭代公式 对于非二次函数 有时会使函数值上升 2 阻尼牛顿
8、法的计算步骤 1 给定初始点 收敛精度 置 2 计算 3 求 4 检查收敛精度 若 则 停机 否则置 返回到2 继续进行搜索 3 阻尼牛顿法的程序框图 方法特点 1 初始点应选在极小点附近 有一定难度 2 尽管每次迭代都不会是函数上升 但不能保证每次都下降 3 若迭代点的海赛矩阵为奇异 则无法求逆矩阵 不能构造牛顿法方向 4 不仅要计算梯度 还要求海赛矩阵及其逆矩阵 计算量和存储量大 此外对于二阶不可微函数也不适用 虽然阻尼牛顿法有上述缺点 但在特定条件下它具有收敛最快的优点 可为其他算法提供思路和理论依据 梯度法与牛顿法的比较 一般迭代式 梯度法 牛顿法 阻尼牛顿法 四 共轭方向和共轭方向法
9、 一 共轭方向的概念 设G为nxn阶实对称正定矩阵 如果有两个n维向量和满足 则称向量与关于矩阵G共轭 或称他们是G的共轭方向 当G为单位矩阵时 共轭方向的概念是在研究二次函数 当为对称正定矩阵时引出的使搜索方向直指极小点 为了克服最速下降法的锯齿现象 提高收敛速度 发展了一类共轭方向法 搜索方向是共轭方向 即将相邻两次搜索方向由正交变为共轭 首先考虑二维情况 如果按最速下降法 选择负梯度方向为搜索方向 会产生锯齿现象 为避免锯齿的发生 取下一次的迭代搜索方向直接指向极小点 如果选定这样的搜索方向 对于二元二次函数只需进行两次直线搜索就可以求到极小点 如果能选定这样的方向 则只需两步搜索得到极
10、小点 即 结论 两个向量 对 是共轭向量 应满足什么条件 对于二次函数在处取得极小点的必要条件 等式两边同左乘得 和称为对G的共轭方向 三 共轭方向法 1 共轭方向法的步骤 1 选定初始点 下降方向 和收敛精度 置 2 沿 方向进行一维搜索 得 3 判断 是否满足 若满足则打印 停机 否则转4 4 提供新的共轭方向 使 5 置 转2 2 共轭方向法程序框图 3 格拉姆 斯密特向量系共轭化法 共轭方向的确定 1 选定线性无关向量系 如n个坐标轴的单位向量 2 取 令 根据共轭条件得 3 递推可得 五 共轭梯度法 1 共轭梯度法是共轭方向法中的一种 该方法中每一个共轭向量都是依赖与迭代点处的负梯度
11、而构造出来 对于二次函数 从点出发 沿G某一共轭方向作一维搜索 到达 而在点 处的梯度分别为 点处的梯度 若和 对G是共轭方向 则 其中 得出共轭方向与梯度之间的关系 此式表明沿方向 结论 2 共轭梯度法计算原理 从出发 沿负梯度方向作一维搜索 设与共轭的下一个方向是由和点的负梯度的线性组合构成 即 共轭条件 与梯度的关系 将式 1 代入 2 得 1 2 因此可得共轭方向的递推公式 3 共轭梯度法计算过程 1 设初始点 计算 2 求的共轭方向 计算 3 求与和均共轭的方向 4 再沿方向进行一维搜索 如此继续下去 可求得共轭方向的递推公式为 4 共轭梯度法程序框图 六 变尺度法 1 问题的提出
12、能否克服各自的缺点 综合发挥其优点 2 阻尼牛顿法 1 梯度法 简单 开始时目标函数值下降较快 但越来越慢 目标函数值在最优点附近时收敛快 但要用到二阶导数和矩阵求逆 2 变尺度法的基本思想 对于一般函数 当用牛顿法寻求极小点时 其牛顿迭代公式为 其中 为了避免迭代公式中计算海赛矩阵的逆阵 用对称正定矩阵近似的逆 每迭代一次 尺度就改变一次 而的产生从给定开始逐步修整得到 3 尺度矩阵的概念 对于一般二次函数 如进行尺度变化 若矩阵是正定的 则总存在矩阵使可得 牛顿迭代法公式变为 牛顿法可以看成经过尺度变化后的梯度法 尺度矩阵 变量的尺度变换是放大或缩小各个坐标 通过尺度变换可以把函数的偏心程
13、度降低到最低限度 是需要构造的一个对称方阵 如果 则得到梯度法 如果 则得到阻尼牛顿法 当矩阵不断地迭代而能很好地逼近时 就可以不再需要计算二阶导数 变尺度法的关键在于尺度矩阵的产生 2 变尺度矩阵应满足的条件 1 为了保证迭代公式具有下降性质 要求 中的每一个矩阵都是对称正定的 2 要求之间的迭代具有简单的形式 3 要求必须满足拟牛顿条件 令 拟牛顿条件 即通过修正矩阵的不断修正 使其在迭代中不断逼近 4 变尺度法的一般步骤 1 选定初始点和收敛精度 2 计算 选取初始对称正定矩阵 置 3 计算搜索方向 4 沿方向进行一维搜索 计算 5 判断是否满足迭代终止准则 若满足则 停机 否则6 6
14、当迭代次后还没有找到极小点时 重置为单位矩阵 并以当前设计点位初始点 7 计算矩阵 置 返回到3 5 变尺度法计算程序框图 5 DFP算法 DFP算法的计算步骤和变尺度法的一半步骤相同 只是具体计算校正矩阵时按公式 例 用DFP算法求 的极值解 求解过程详见教材 DFP算法是由戴维顿 Davidon 于1953年提出 又于1963年由弗莱彻 Fletcher 和鲍威尔加以发展 称为现代公认较好的算法之一 七 坐标换法 坐标换法是在每次搜索只允许一个变量变化 其余变量保持不变 即沿坐标方向流进行搜索的寻优方法 它把多变量的优化问题流地转化成单变量 其余变量视为常量 的优化问题 因此又称这种方法为
15、变量换法 换过程中不需要目标函数的导数 只需要目标函数信息值 属于直接法的无约束最优化方法 此类方法适用于不知道目标函数的数学表达式而仅知其目标函数值信息的情况 这也是直接法的一个优点 1 坐标换法的寻优过程 1 从初始点出发 沿第一个坐标方向搜索 即 得按照一维搜索方法确定 最佳步长因子满足 2 从出发 沿 方向搜索得 其中 步长因子满足 为一终点 3 检验始终点的距离是否满足精度要求 满足结束 不满足 开始新一 结论 对于个变量的函数 若在第沿第个坐标 方向进行搜索 其迭代公式为 其中搜索方向取坐标方向 即 若 则 否则 进行下 一搜索 一直到满足精度应要求为止 2 程序框图 3 坐标换法
16、的特点 1 收敛效果与目标函数等值线的形状有很大关系 2 搜索只能流沿着坐标方向搜索 要经过多次曲折迂回的路径才能达到极小点 在极值点附近收敛速度很慢 八 鲍威尔 Powell 方法 方向加速法 自学 概述 Powell法是以共轭方向为基础的收敛较快的直接法之一 是一种十分有效的算法 1964年 Powell提出这种算法 其基本思想是直接利用迭代点的目标函数值来构造共轭方向 然后 从任一初始点开始 逐次沿共轭方向作一维搜索求极小点 并在以后的实践中进行了改进 对于二次函数 基本思想 在不用导数的前提下 在迭代中逐次构造G的共轭方向 1 共轭方向的生成 设为从不同点出发 沿同一方向进行一维搜索而得到的两个极小点 由梯度和等值面垂直的性质 和两点处的梯度之间存在关系 另一方面 对于上述二次函数 其两点处的梯度可表示为 将两式相减可得 取方向 结论 这说明要沿方向分别对函数作两次一维搜索 得到两个极小点 那么这两点的连线所给出的方向就是与一起对G共轭的方向 2 基本算法 以二维情况为例 1 任选一初始点x0 再选两个线性无关的向量如坐标轴的单位向量e1 1 0
