《2020届高考数学二轮复习(理)分层讲义(拔高):立体几何第二章 空间向量及其应用》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020届高考数学二轮复习(理)分层讲义(拔高):立体几何第二章 空间向量及其应用(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、理科:第二章 空间向量及其应用一、考纲解读1.空间向量及其运算.(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;(3)掌握空间向量的数量积及其表示,能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.2.空间向量的应用.(1)理解直线的方向向量与平面的法向量;(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的应用.二、命题
2、趋势探究立体几何试题中,证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法(非向量法)证明,对于空间角和距离的计算,既可用传统方法解答,也可以用向量法解答,而且多数情况下向量法会更容易一些.三、知识点精讲(一).空间向量及其加减运算1.空间向量在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模,若向量的起点是,终点是,则向量也可以记作,其模记为或.2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量,记作.当有向线段的起点与终点重合时,.模为1的向量称为单位向量.3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,
3、同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面,成为同一平面内的两个向量.与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为.4.空间向量的加法和减法运算(1),.如图8-152所示. (2)空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ,(二).空间向量的数乘运算1数乘运算实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算.当时,与向量方向相同;当时,向量与向量方向相反. 的长度是的长度的倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,.3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,平行于,记作.4.共线向量定理对
4、空间中任意两个向量,的充要条件是存在实数,使.5.直线的方向向量如图8-153所示,为经过已知点且平行于已知非零向量的直线.对空间任意一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使,其中向量叫做直线的方向向量,在上取,则式可化为和都称为空间直线的向量表达式,当,即点是线段的中点时,此式叫做线段的中点公式.6.共面向量如图8-154所示,已知平面与向量,作,如果直线平行于平面或在平面内,则说明向量平行于平面.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.图 8-1547.共面向量定理如果两个向量,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.推论:(1)空间一点位于平面内的充要条件是存在有序
5、实数对,使;或对空间任意一点,有,该式称为空间平面的向量表达式.(2)已知空间任意一点和不共线的三点,满足向量关系式(其中)的点与点,共面;反之也成立.(三).空间向量的数量积运算1.两向量夹角已知两个非零向量,在空间任取一点,作,则叫做向量,的夹角,记作,通常规定,如果,那么向量,互相垂直,记作.2.数量积定义已知两个非零向量,则叫做,的数量积,记作,即.零向量与任何向量的数量积为0,特别地,.3.空间向量的数量积满足的运算律:,(交换律);(分配律).四、空间向量的坐标运算及应用(1)设,则; ; ; ; .(2)设,则. 这就是说,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终
6、点的坐标减起点的坐标.(3)两个向量的夹角及两点间的距离公式.已知,则;已知,则,或者.其中表示与两点间的距离,这就是空间两点的距离公式.(4)向量在向量上的射影为.(5)设是平面的一个法向量,是内的两条相交直线,则,由此可求出一个法向量(向量及已知).(6)利用空间向量证明线面平行:设是平面的一个法向量,为直线的方向向量,证明,(如图8-155所示).已知直线(),平面的法向量,若,则.(7)利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线中各取一个方向向量,只要证明,即.(8)利用空间向量证明线面垂直:即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.图 8-155(9)证明面面平行、面面垂直,最
7、终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.(10)空间角公式.异面直线所成角公式:设,分别为异面直线,上的方向向量,为异面直线所成角的大小,则.线面角公式:设为平面的斜线,为的方向向量,为平面的法向量,为与所成角的大小,则.二面角公式:设,分别为平面,的法向量,二面角的大小为,则或(需要根据具体情况判断相等或互补),其中.(11)点到平面的距离为,为平面的法向量,则.五、解答题题型总结核心考点一:存在、最值问题 【例1】如图,在三棱柱中,顶点在底面上的射影恰为点,且 分别求出与底面、棱所成的角; 在棱上确定一点,使,并求出二面角的平面角的余弦值【解析】 因在底面上的射影恰为点,则底面所以
8、就是与底面所成的角因故即与底面所成的角是如图,以为原点建立空间直角坐标系,则,则故与棱所成的角是 设则于是(舍去),则为棱的中点,其坐标为设平面的法向量为,则不妨取,得 而平面的法向量为则故二面角的平面角的余弦值是【例2】设四棱锥中,底面是边长为的正方形,且面求证:;过且垂直于直线的平面交于点,如果三棱锥的体积取到最大值,求此时四棱锥的高解析图:【解析】 连接,又,平面,于是 如图建系,设,则、,而平面,于是,解得,当且仅当时,取到等号故三棱锥的体积取最大值时,四棱锥的高为【例3】如图已知在中,平面,交于,于,已知,当变化时,求三棱锥体积的最大值【解析】 平面,又,平面,面,又,平面,又,平面
9、在三棱锥中,当时,取得最大值为【例4】如图,已知四棱锥,底面为菱形,平面,分别是的中点证明:;若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值【解析】 由四边形为菱形,可得为正三角形因为为的中点,所以又,因此因为平面,平面,所以而平面,平面,且,所以平面又平面,所以 法一:设,为上任意一点,连接由知平面,则为与平面所成的角在中,当最短时,最大,即当时,最大此时,又,因为平面,平面,所以平面平面过作于,则平面,过作于,连接,则为二面角的平面角,在中,又是的中点,在中,又,在中,即所求二面角的余弦值为法二:与平面所成最大角的正切值为,等价于最大角的正弦值为,由知是面的法向量,因此上述条件
10、即为由知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,所以,设点,则,于是,解得,即,到的距离为,于是可以算出又分别为的中点,设平面的一法向量为,则,因此,取,则,因为,所以平面,故为平面的一法向量(也可直接设出法向量,由方程求解)又,所以因为二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为【例5】已知正三棱柱的底面边长为,高为,点在侧棱上移动,到底面的距离为,且与侧面所成的角为; 若在区间上变化,求的变化范围; 若为,求与所成角的余弦值【解析】 设的中点为,连结、,在正中,易知,又侧面与底面互相垂直,平面,即为与侧面所成的角,在中,依题意即为点到底面的距离,且,由已知,即由,解得,即的范围是 ,即时,即与所成角的余弦值为