2004年 专题 不等式(冲刺版) 0

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1、1 20042004 年年 专题专题 不等式不等式 冲刺版冲刺版 一 考试内容一 考试内容 不等式 不等式的性质 不等式的证明 不等式的解法 含有绝对值的不等式 二 考试要求二 考试要求 1 掌握不等式的性质及其证明 掌握证明不等式的几种常用方法 掌握两个和三个 不要求四个和四 个以上 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这两个定理 并能运用上述性质 定理和方法解决一 些问题 2 在熟练掌握一元一次不等式 组 一元二次不等式的解法的基础上初步掌握其他的一些简单的不等 式的解法 3 会用不等式 a b a b a b 三 考点简析三 考点简析 1 不等式知识相互关系表 2 不等式性质 1 作用

2、地位 不等式性质是不等式理论的基本内容 在证明不等式 解不等式中都有广泛的应用 高考中 有时直 接考查不等式的性质 有时间接考查性质 如在证明不等式 解不等式中就间接考查了掌握不等式性质的 程度 准确地认识 运用基本性质 并能举出适当反例 辨别真假命题的能力是学好不等式的要点 2 基本性质 实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是不等式性质的依据 在不等式性质中 最基本的是 2 a b bb b c a c 传递性 a b a c b c 数加 0 0 数乘 cbcacba cbcacba a b c 0 a c b c 与等式相比 主要区别在数乘这一性质上 对于等式 a b ac bc 不论

3、 c 是正数 负数还是零 都是 成立 而对于不等式 a b 两边同乘以 c 之后 ac 与 bc 的大小关系就需对 c 加以讨论确定 这关系虽然记 得很清楚 但在解题时最容易犯的毛病就是错用这一性质 尤其是参数的讨论 3 基本性质的推论 由基本性质可得出如下推论 推论 1 a b 0 c d 0 ac bd 推论 2 a b 0 c d 0 c b d a 推论 3 a b 0 an bn n N 推论 4 a b 0 nn ba n N 对于上述推论可记住两点 一是以上推论中 a b c d 均为正数 即在 x x 是正实数集 中对不等式实施 运算 二是直接由实数比较大小的原理出发 3 不等

4、式的证明 1 作用地位 证明不等式是数学的重要课题 也是分析 解决其他数学问题的基础 特别是在微积分中 以不等式 为基础建立极限论是它的理论基础 高考中 主要涉及 a b 0 时 a b 2 ab 这类不等式 以及运用不等式性质所能完成的简单的不 等式的证明 用数学归纳法证明与自然数有关命题的不等式难度较大 2 基本不等式 定理 1 如果 a b x x 是正实数集 那么2 ba ab 当且仅当 a b 时取 号 定理 2 如果 a b c x x 是正实数集 那么3 cba 3 abc 当且仅当 a b c 时取 号 定理 3 如果 a b x x 是正实数集 那么 ba 11 2 ab 2

5、 ba 2 22 ba 当且仅当 a b 时取 号 推论 4 如果 a b c x x 是正实数集 那么 cba 111 3 3 abc 3 cba 3 222 cba 当且仅当 a b c 时取 号 由上述公式还可衍生出一些公式 4ab a b 2 2 a2 b2 a b R 当且仅当 a b 时等号成立 a2 b2 c2 ab bc ca a b c R 当且仅当 a b c 时等号成立 3 a2 b2 c2 3 1 a b c 2 ab bc ca a b c R 当且仅当 a b c 时等号成立 a b b a 2 当且仅当 a b 时取 号 a 0 b 0 a b 1 则 ab 4

6、1 等 4 不等式证明的三种基本方法 比较法 作差比较 根据 a b 0 a b 欲证 a b 只需证 a b 0 作商比较 当 b 0 时 a b b a 1 比较法是证明不等式的基本方法 也是最重要的方法 有时根据题设可转化为等价问题的比较 如幂 方根等 分析法 从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件 对于思路不明显 感到无从下手的 问题宜用分析法探究证明途径 综合法 从已知的不等式及题设条件出发 运用不等式性质及适当变形 恒等变形或不等变形 推 导出要求证明的不等式 4 不等式的解法 1 作用与地位 解不等式是求定义域 值域 参数的取值范围时的重要手段 与等式变形并列的 不等式的

7、变形 是 研究数学的基本手段之一 高考试题中 对解不等式有较高的要求 近两年不等式知识占相当大的比例 2 一元一次不等式 组 及一元二次不等式 组 解一元一次不等式 组 及一元二次不等式 组 是解其他各类不等式的基础 必须熟练掌握 灵活 应用 3 高次不等式 解高次不等式常用 数轴标根法 一般地 设多项式 F x a x a1 x a2 x an 它的 n 个实根的大小顺序为 a1 a2 0 时有 在奇数区间内 F x 0 在偶数区间内 F x 0 f x g x 0 xg xf 0 0 0 xg xgxf 5 无理不等式 两类常见的无理不等式等价变形 4 xf g x 0 0 2 xgxf

8、xg xf 或 0 0 xg xf xf g x 0 0 2 xfxg xg xf 6 指数不等式与对数不等式 当 0 aag x f x 1 时 a fx ag x f x g x logaf x logag x f x g x 0 7 含参数不等式 对于解含参数的不等式 要充分利用不等式性质 对参数的讨论 要不 重复 不 遗漏 5 含有绝对值的不等式 1 作用与地位 绝对值不等式适用于范围较广 求向量 复数的模 距离 极限的定义等都涉及与绝对值不等式的关系 高考试题中 对绝对值不等式从多方面考查 2 两基本定理 定理 1 a b a b a b a b R 定理 2 a b a b a b

9、 a b R 应理解其含义 掌握证明思路以及 号成立的条件 3 解绝对值不等式的常用方法 讨论法 讨论绝对值中的式子大于零还是小于零 然后去掉绝对值符号 转化为一般不等式 等价变形 解绝对值不等式常用以下等价变形 x a x2 a2 a x0 x a x2 a2 x a 或 x0 一般地有 f x g x g x f x g x f x g x 或 f x g x 四 思想方法四 思想方法 1 不等式中常见的基本思想方法 1 等价转化 具体地说 就是无理化为有理 分式化为整式 高次化为低次 绝对值化为非绝对值 指数 对数化为代数式等 2 分类讨论 分类讨论的目的是处理问题解决过程中遇到的障碍

10、在无障碍时不要提前进行分类讨论 3 数形结合 有些不等式的解决可能化为两个函数图像间的位置关系或几何问题 5 4 函数方程思想 解不等式可化为解方程及函数图像与 x 轴交点问题 然后根据题意判断所求解的 区间 如 标根法 实际上是一种函数 方程思想 2 证明不等式的常用方法 除了课本介绍了证明不等式的三种基本方法外 还有如下常用方法 1 放缩法 若证明 A B 我们先证明 A C 然后再证明 C B 则 A B 2 反证法 反证法是通过否定结论导致矛盾 从而肯定原结论正确的一种方法 3 数学归纳法 证明与自然数 n 有关的不等式时 常用数学归纳法 此法高考中已多次考查 4 变量代换法 变量代换

11、是数学中一种常用的解题方法 对于一些结构比较复杂 变化较多而关系不太清楚的不等式 可适当地引进一些新的变量进行代换 以简化其结构 其代换技巧有局部代换 整体代换 三角代换 增 量代换等 5 函数方法 通过利用函数的性质 如单调性 凸性 有界性 实根存在的条件证明不等式的方法称为函数方法 6 构造方法 不等式证明中的构造方法 主要是指通过引进合适的恒等式 数列 函数 图形及变量代换等辅助手 段 促使命题转化 从而使不等式得证 此法技巧要求较高 高考试题中很少见 例题解析例题解析 例 1 证明下列不等式 1 若 x y z R a b c x x 是正实数集 则 a cb x2 b ac y2 c

12、 ba z2 2 xy yz zx 2 若 x y z x x 是正实数集 且 x y z xyz 则x zy y xz z yx 2 x 1 y 1 z 1 2 解 1 先考虑用作差证法 a cb x2 b ac y2 c ba z2 2 xy yz zx a b x2 b a y2 2xy b c y2 c b z2 2yz c a z2 a c x2 2zx a b x b a y 2 b c y c b z 2 c a z a c x 2 0 a cb x2 b ac y2 c ba z2 2 xy yz zx 2 采用等价转化法 所证不等式等价于 x2y2z2 x zy y xz z

13、 yx 2 xy yz zx 2 6 xyz yz y z zx z x xy x y 2 xy yz zx 2 x y z y2z yz2 z2x zx2 x2y xy2 2 x2y2 y2z2 z2x2 4 x2yz xy2z xyz2 y3z yz3 z3x zx3 x3y xy3 zx2yz 2xy2z 2xyz2 yz y z 2 zx z x 2 xy x y 2 x2 y z 2 y2 z x z2 x y 2 0 上式显然成立 原不等式得证 注 1 配方技巧的实现关键在于合理的分项 正是这种分项我们对 1 还可证明如下 a cb x2 b ac y2 c ba z2 a b x

14、2 b a y2 b c y2 c b x2 c a z2 a c x2 2 22 y x b a a b 2 22 x y c b b c 2 22 x z a c c a 2 xy yz zx 2 的证法要害是 化分式为整式 活用条件 即用 x y z 代换 xyz 以及配方技术 事实上 这个 代数不等式的实质是如下三角不等式 在锐角 ABC 中 求证 cotA tanB tanC cotB tanC tanA cotC tanA tanB 2 cotA cotB cotC 2 例 2 x y z R 且 x y z 1 x2 y2 z2 2 1 则 x y z 0 3 2 证法一 由 x

15、 y z 1 x2 y2 z2 2 1 得 x2 y2 1 x y 2 2 1 整理成关于 y 的一元二次方程得 2y2 2 1 x y 2x2 2x 2 1 0 y R 故 0 4 1 x 2 4 2 2x2 2x 2 1 0 解之得 0 x 3 2 x 0 3 2 同理可得 y z 0 3 2 证法二 设 x 3 1 x y 3 1 y z 3 1 z 则 x y z 0 于是 2 1 3 1 x 2 3 1 y 2 3 1 z 2 3 1 x 2 y 2 z 2 3 2 x y z 3 1 x 2 y 2 z 2 7 3 1 x 2 2 2 zy 3 1 3 2 x 2 故 x 2 9

16、1 x 3 1 3 1 x 0 3 2 同理 y z 0 3 2 证法三 反证法 设 x y z 三数中若有负数 不妨设 x0 2 1 x2 y2 z2 x2 2 2 zy 2 1 2 x x2 4 5 x2 x 2 1 2 1 矛盾 x y z 三数中若有最大者大于3 2 不妨设 x 3 2 则 2 1 x2 y2 z2 x2 2 2 zy x2 2 1 2 x 3 2 x2 x 2 1 3 2 x x 3 2 2 1 2 1 矛盾 故 x y z 0 3 2 注 本题证法甚多 最易接受的方法是证法一的判别式法 因为该法思路明晰 易于操作 技巧性 不强 例 3 已知 i m n 是正整数 且 1 i m n 1 证明 niAmi 1 n m 证明 1 对于 1 i m 且 Ami m m i 1 i i m m A m m m m1 m im1 同理 i i n n A n n n n1 n in1 由于 mm km 所以 i i n n A i i m m A 即 miAni niAmi 2 由二项式定理有 1 m n 1 Cn1m Cn2m2 Cnnmn 1 n m 1 Cm1n