《中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月数学（理）试题（一卷）答案（扫描版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月数学（理）试题（一卷）答案（扫描版）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1页 共 8 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年年 1 月测试月测试 理科数学 一卷 答案理科数学 一卷 答案 一 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B C B A A C C D C D 二 二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 2 3 14
2、8 17 15 31 2 16 2 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 一 必考题 60 分 分 17 解 1 由题意得2OP 则 1 cos 2 3 sin 2 2 分 3 cos sin 22 5 分 2 22 13131 sincoscossincos2 22222 f xxxxxx 8 分 故 2 2 T 10 分 由2
3、22kxk 知单调递增区间为 2 kkkZ 12 分 第2页 共 8 页 18 解 1 如图 取的中点 连接 在菱形中 是正三角形 1 分 同理 在菱形CDFE中 可证 DGBGG 2 分 且DGBG均 在 面BDG内 平 面 BDBDG 面 4 分 又 5 分 2 由 1 知 就是二面角的平面角 即 又 所以是正三角形 故有 7 分 如图 取的中点 连接 则 又由 1 得 又因为 DGEFG DGCDEF EFCDEF 平面平面 所以 平面 且 又 在直角中 所以 9 分 设到平面的距离为 则 所以 11 分 EFGBGDG ABEF 60BAF BEF EFBG EFDG EF BDG E
4、FBD CDEF CDBD BGD BEFD 60BGD 3BGGD BDG 3BD DGOBOBODG EFBO BO CDFE 3 2 BO BDCD BDC 7BC 173 7 74 244 BCE S DBCEh 11333 4 33242 B DCEDCE VBO S 113 73 3342 D BCEBCE Vh Sh 2 21 7 h 第19题图 E FD C B A G 第 18 题图 O E FD C B A G 第 18 题图 第3页 共 8 页 故直线与平面所成角正弦值为 12 分 建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分 19 解 1 由 3 9a 是 1 a 5 a的等
5、差中项得 153 218aaa 1 分 所以 1353 31842aaaa 解得 3 8a 3 分 由 15 34aa 得 2 2 8 834q q 解得 2 4q 或 2 1 4 q 因为1q 所以2q 5 分 所以2n n a 6 分 2 法 1 由 1 可得 1 2 2121 n n nn b nN 1 111 22 2121 2121 2121 2121 nnnn n nnnnnn b 11 1 1 2 2121 2 2121 2121 21 212 nnnnnn nn nnn 9 分 21321 12 2121 2121 2121 nn n bbb 11 21 121 nn 12 分
6、 法 2 由 1 可得 1 2 2121 n n nn b nN 我们用数学归纳法证明 1 当1n 时 1 2 3 13 13 b 不等式成立 7 分 2 假设nk kN 时不等式成立 即 BDBCE 2 7 7 h BD 第4页 共 8 页 1 12 21 k k bbb 那么 当1nk 时 1 1 121 12 2 21 2121 k k kk kk bbbb 112 1 1212 2 2121 21 2121 2121 kkk k kkkk 9 分 112 12 1 2 2121 2121 2 kkk kk k 11 分 即当1nk 时不等式也成立 根据 1 和 2 不等式 1 12 2
7、1 n n bbb 对任意 nN 成立 12 分 20 解 1 由已知可得0 2 p F 0 2 p E 2 2 P p 2PEPF 22 22 424 22 pp pp 0 2pp 抛物线 C 的方程为 2 4xy 4 分 2 由 1 得 2 10 1PE 易求得 1 0Q 5 分 由题意得 直线l的斜率存在且不为 0 可设直线l的方程为1xmy 联立方程组 2 1 4 xmy xy 整理得 22 2410 m ymy 16 160 1 mm 设点 1122 M x yN xy 1212 22 421 m yyyy mm 7分 第5页 共 8 页 12 1212 4211 42 1 yym
8、m yyyy QMMN 1 121 2 1 y yyy y 1 2 1 2 1 2 12 3 y y 9 分 设OMP 在OP边上的高为 M h ONP 在OP边上的高为 N h OMP ONP S S 11 22 1 2 2 1 2 2 M M N N OP h xyh hxy OP h 11 22 21242 21242 mymy mymy 10 分 11 22 1 2 2 3 yy yy OMP ONP S S 的取值范围是 1 2 2 3 12 分 21 解 1 21 x fxxe 1 分 1 11f e 10f 2 分 所以切线方程为 1 1 e yx e 3 分 2 由 1 知 f
9、x在点 1 1 f 处的切线方程为 1 1 e yx e 2 11 2 11 224 224 2 21 1 21 2 1 y yy y yy ym ym 第6页 共 8 页 设 1 1 e S xx e 构 造 11 11 x e F xf xxxe ee 1 2 x Fxxe e 3 x Fxxe 所以 Fx 在 3 上单调递减 在 3 上单调递增 5 分 又 3 11 30F ee 1 lim x Fx e 10F 所以 F x在 1 上单调 递减 在 1 上单调递增 所以 1 101 e F xFf xS xx e 当 且仅当1x 时取 方程 1 1 e xb e 的根 1 1 1 eb
10、 x e 又 111 bs xf xs x 由 s x在R上 单调递减 所以 11 xx 7 分 另一方面 fx在点 1 22e 处的切线方程为 311yexe 设 31 1t xexe 构造 1131113 xx G xf xt xxeexexeexe 23 x Gxxee 3 x Gxxe 所以 Gx 在在 3 上单调递减 在 3 上单调递增 9 分 又 3 1 330Ge e lim3 x G xe 10G 所以 G x在 1 上单调递 减 在 1 上单调递增 所以 10311G xGf xt xexe 当且仅当1x 时取 10 分 方程 311 t xexeb 的根 2 1 31 eb
11、 x e 又 222 bt xf xt x 由 第7页 共 8 页 t x在R上单调递增 所以 22 xx 所以 2121 1 1 311 beeb xxxx ee 得 证 12 分 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 作答时请写清题号 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 作答时请写清题号 22 选修 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 10 分 分 解 1 当0 时 极坐标方程两边同乘以 得 3 sincos2 在直角坐标系下 22 cos sin xyxy 故化成直
12、角坐标系方程 2222 2yxxyxy 不包括点 0 0 3 分 当0 时 0 0满足原极坐标方程 4 分 综上 所求的直角坐标方程为 2222 2yxxyxy 5 分 2 由 题 意 得 直 线l的 普 通 方 程 为30 xy 设 曲 线 C上 的 动 点 2cos sin Ra 因为曲线C 上所有点均在直线l的右上方 所以对R 恒有 2cossin30a 7 分 即 2 4sin3a 其中 2 tan 0 a a 所以 2 43 a 9 分 解得05 a 10分 23 选修 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 10 分 分 解 1 因为0 0 0 xyz 所以由柯西不等式得 222 2
13、 232323 232323 xyz yzzxxyxyz yzzxxy 3 分 又因为1 xyz 所以 22 222 1 23232323232355 xyzxyzxyz yzzxxyyzzxxyxyz 5 分 2 2 161616 xyz 2 222 444 xyz 第8页 共 8 页 由均值不等式 2 222 444 xyz 2 3 222 3 4 xyz 当且仅当 2 xyz 时 成立 7 分 1 xyz 2222 3 222222 12222 2 xyzxyzzzzz 当且仅当 1 2 z时取 9 分 2 3 3 222 2 4443 46 xyz 当 且 仅 当 11 42 xyz 时 等 号 成 立 所 以 2 161616 xyz 的最小值为 6 10 分
