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1、概率论计算与证明题0第 5 章 极限定理1、 为非负随机变量，若 ，则对任意 ， 。(0)aEexoaxPeE2、若 ， 为随机变量，且 ，则关于任何 ，()0hxh0c。1()()PcEh4、 各以 概率取值 和 ，当 为何值时，大数定律可用于随机变量序列 的算术k12sks 1,n 平均值？6、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：（1） ；12kPX（2） ；(21) 2,01kk kkPX（3） 。22,kk7、若 具有有限方差，服从同一分布，但各 间， 和 有相关，而 是独立的，k k11,(|2)kl证明这时对 大数定律成立。k8、已知随机变量序列 的方差有界
2、， ，并且当 时，相关系数 ，证12, nDc|ij0ijr明对 成立大数定律。k9、对随机变量序列 ，若记 ， ，则 服从大数定律i1()nn 1()naE i的充要条件是 。2()lim01nnaE10、用斯特灵公式证明：当 ，而 时，,m0n。221nme12、某计算机系统有 120 个终端，每个终端有 5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有 10 个或更多终端在使用的概率。概率论计算与证明题113、求证，在 时有不等式 。xo222111txxede14、用德莫哇佛拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中， ，则不管 是如何大的常数，总0pk有 。|0()nPpkn15 之间的
3、概率不小于 90%。并用正态逼近计算同一问题。16、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛拉普拉斯定理估计下面概率： 并进行比较。这nPp里 是 次贝努里试验中成功总次数， 为每次成功的概率。np17、现有一大批种子，其中良种占 ，今在其中任选 6000 粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与16之差小于 1%的概率是多少？1618、种子中良种占 ，我们有 99%的把握断定，在 6000 粒种子中良种所占的比例与 之差是多少？这16 16时相应的良种数落在哪个范围内？19、蒲丰试验中掷铜币 4040 次，出正面 2048 次，试计算当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之差的偏离程度，不大于蒲丰试验中所发
4、生的偏差的概率。20、设分布函数列 弱收敛于连续的分布函数 ，试证这收敛对 是一致的。()nFx()Fx1xR22、试证若正态随机变量序列依概率收敛，则其数学期望及方差出收敛。24、若 的概率分布为 ，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。nX01n25、随机变量序列 具有分布函数 ，且 ，又 依概率收敛于常数 。n()nFx()nFxn0c试证：（I） 的分布函数收敛于 ；（II ） 的分布函数收敛于 。cn()Fx26、试证：（1） ；0PPnnXX （2） ；,1Y （3） ；(,)PPnnmn （4） ；, PXXY （5） 是常数 ；Pnk Pnk 概率论计算与证明题2（6） ；22P
5、PnnXX （7） 常数 ；,aYba PnYab （8） ；1PPnn （9） 常数 ；,X 110PnX （10） 是随机变量 ；PnY PnY （11） 。,Pn 27、设 。而 是 上的连续函数，试证 。PnX g1R()()PngX 28、若 是单调下降的正随机变量序列，且 ，证明 。 0n 0asn 29、若 是独立随机变量序列， 是整值随机变量， ，且与 独立，求12, kpiX的特征函数。X30、若 是非负定函数，试证（1） 是实的，且 ；（2） ；()ft (0)f(0)f()ftf（3） 。|(0)f31、用特征函数法直接证明德莫佛拉普拉斯积分极限定理。33、若母体 的数学
6、期望 ，抽容量为 的子样求其平均值 ，为使2,EmDn，问 应取多大值？|0.195%Pn34、若 为相互独立随机变量序列，具有相同分布 ，而,2,n 11,022nnP，试证 的分布收敛于 上的均匀分布。1knn0,135、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。36、用特征函数法证明，普阿松分布当 时，渐近正态分布。计算 的特征函数，并求 时的极限。nYn38、设 独立同分布， ，则大数定律成立。X2kkPX(1,2)39、若 是相互独立的随机变量序列，均服从 ，试证 及i 0,N122nnXW渐近正态分布 。122nnUX (,1)概率论计算与证明题340、设 是独立随机变量序列，均服从
7、均匀分布，令 ，试证 ，这12,X 0,1 1niiZXPnZc里 是常数，并求 。cc41、若 是独立同分布随机变量序列， ，若 是一个有界的连续函数，试证i iEXm()fx。1linnff42、若 是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证 。iX 12()nPiiiXE 44、设 是 上连续函数，利用概率论方法证明：必存在多项式序列 ，在 上一致()fx0,1 (nBx0,1收敛于 。45、设 是独立随机变量序列，试证 的充要条件为，对任意 有iX0asnX 。1|nnP46、试证独立同分布随机变量序列，若存在有限的四阶中心矩，则强大数定律成立。48、举例说明波雷尔康特拉引理（i
8、）之逆不成立。49、设是相互独立且具有方差的随机变量序列，若 ，则必有 。21knDX21lim0knDX53、若 是独立随机变量序列，方差有限，记 。k n1(),kSES（1）利用柯尔莫哥洛夫不等式证明 1n22max()mjjpP（2）对上述 ，证明若 ，则 收敛；mp21kD1mp（3）利用上题结果证明对 成立柯尔莫哥洛夫强大数定律。n54、 （1）设 为常数列，令 ，kc 1,sup|,12,kmkmscbs inf,12,mb试证 收敛的充要条件是 ；1k 0（2）(Kronecker 引理)对实数列 ，若 收敛，则 。kc1k10nkc概率论计算与证明题456、设 是独立随机变量
9、序列，对它成立中心极限定理，则对 成立大数定律的充要条件12,X nX为 。2()nDo57、设 是独立同分布随机变量序列，且 对每一个 有相同分布，那么，若12, 1nkX1,2，则 必须是 变量。0,iiEXiX(0,)N58、设 是独立随机变量序列，且 服从 ，试证序列 ：（1）成立中心极限定理；k k,2)kk（2）不满足费勒条件；（3）不满足林德贝格条件，从而说明林德贝格条件并不是中心极限定理成立的必要条件。59、若 是独立随机变量序列， 服从 均匀分布，对 服从 ，证明kXiX1,2,3kX 1(0,2)kN对 成立中心极限定理，但不满足费勒条件。60、在普阿松试验中，第 次试验时
10、事件 A 出现的概率为 ，不出现的概率为 ，各次试验是独立的，i ipiq以 记前 次试验中事件 A 出现的次数，试证：（1） ；（2）对nv ()0PnvE 成立中心极限定理的充要条件是 。1niipq1ipq61、设 独立， 服从 均匀分布，问对 能否用中心极限定理？kXk,kX62、试问对下列独立随机变量序列，李雅普诺夫定理是否成立？（1） ； （2） 。:12k0:,013aak65、求证：当 时， 。n0!kne解答1、证：对任意 ， 。xo1()()ayxyxPdFedF 101()ayaxxedFEe2、证： 为非负随机变量，所以对 有()h0c概率论计算与证明题5。1()()(
11、)hhxcxcPhdFd011()()hxdFEc4、解：现验证何时满足马尔可夫条件 ， ，21nkD20kk。若 ，这时 ，利用 间的独立性可得221sskDks0sk。2212110()snnskkn若 ，则 。1s22111()2nnskkkDn所以当时，大数定律可用于独立随机变量序列。5.6、证：（1） ， ，0kEX2214kkD。1222211 0()3nnnkkXn不满足马尔可夫条件。（2） ，22110,kkkEXD。2210()nk n满足马尔可夫条件。（3） ，322 2110,kkEXDk。322 2111(1)()2nnnkkkXn不满足马尔可夫条件。概率论计算与证明题
12、67、证：因为 是独立的，所以1,(|2)kl22211()nnkkDE1211()()()nnkkkkEE 2,122nkkrn230()其中利用 且 有限。马尔可夫条件成立，所以对序列 成立大数定律。,1krn8、证：由题中条件可得，对任给 ，存在 N，使当 时有 （设 ） ，则0c|ji|4ijre0c222111nnkkijjnjDr22|ijjnc.22,| |ijjijjNji jiNcn在上式前一个和式中， 可以依次取 ；对每个固定的 来说，由于 且 i1,n jiNij，所以至多对应 项；从而和式中至多有 项，在后一个和式中，由于 ，所以对 取，至多依次对应 项，从而和式中至多
13、有 1,2n ,2,n (1)21n项，利用 可得()|1ijr。2221 (1)4nkcnDNcc 214Nnn当 充分大时，上式右方之值可以小于 ，所以 。210()kD对 大数定律成立。n9、证：充分性。 是 的增函数，所以对任给 有2(1)ts(0)t022| |()1|( ()n nn nnnyayaPdFdFy 22()1naE所以当 时有 ，此时 服从大数定律。2()01nE|0nPi概率论计算与证明题7必要性。设 服从大数定律，即 ，则对任给 ，存在 ，当ilim|0nnPa0N时有 。由 关于 的单调性和 得nNlim|nnPa2(1)ts()t 1s2()01nE2|1|nnPaPa（当 时） 。21 。2()lim01nna10、证：斯特灵公式为 。由此得1!2,02mme2 21()!1n nm22 ()()() 1()2( )nn nmmeen
