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1、2019届广东省中山市第一中学高三上学期第二次统测理科 数学（满分150分，考试用时120分钟）1、 选择题 (本题12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合（提示：2.718），则的子集的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. （ ）A. B. C. D. 3.设随机变量服从正态分布，若，则（ ）A1 B2 C3 D44.下列有关命题的说法错误的是（ ）A.若“”为假命题，则与均为假命题；B.在 中，“”是“ ”的必要不充分条件；C.若命题，则命题；D.“”的必要不充分条件是“”.5.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立
2、了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若，则所有九个数的和为（ ）A. 18 B. 27 C. 45 D. 547函数（）的图象大致是（ ）A. B. C. D. 8设a，b，m为整数(m)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为ab(mod m)若aC200C2012C20222C2020220，ab(mod 10)，则b
3、的值可以是()A2018 B2019 C2020 D20219已知函数是奇函数，其中，则函数的图象( )A关于点对称 B可由函数的图象向右平移个单位得到 C可由函数的图象向左平移个单位得到 D可由函数的图象向左平移个单位得到 10. 某两个三口之家，拟乘“红旗”、“比亚迪”两辆出租车一起外出郊游，每辆车最多只能坐4个，其中两个小孩（另4个为两对夫妇）不能独坐一辆车，则不同的乘车方法共有（ ）A58种B50种C48种D40种11. 函数是偶函数，且时，若，则的取值范围是（ ）ABCD12.如图，点为的边上一点，为边上的一列点，满足，若，则（ ）A. B. C. D. 第II卷（非选择题 90分）
4、二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13定义在R上的函数满足时，则 14已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为_ _ _15. 已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角若， ，则的值为 16已知函数 ，若成立，则的最小值为 三、解答题（本题共有6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线与交于 两点，记点相应的参数分别为，当时，求的值.18（12分）已知不等式的解集.（1）求；（
5、2）若，求证：.19（12分）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为.（1）求；（2）求的值. 20、（12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数2040201010乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142 天数1020204010（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，
6、求这两天送餐单数都大于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答以下问题：（）记乙公司送餐员日工资为(单位：元),求的分布列和数学期望；（）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.21.（12分）设正项数列的前项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)若正项等比数列满足，且，数列的前项和为.求；若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围.22、（12分）已知函数.(1)若，试判断函数的零点个数；(2)若函数在上为增函数，求整数的最大值，(可能要用的数据: ；).高三第二次统测试题理科数学答案一、选择题：1-5BDBDC
7、 6-10CBDCC 1112CB二、填空题： 13. 1 14. 15. 6 16. 12.【解析】 因为，所以，所以，因为，且，所以，得，所以，又，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，故选B.16.【解析】不妨设，故，令，易知在上是增函数，且，当时，当时，即当时，取得极小值同时也是最小值，此时，即的最小值为三、解答题：17.解：（1）的普通方程：，其中；2分的直角坐标方程：. 4分（2）由题知直线恒过定点，又，由参数方程的几何意义知是线段的中点，曲线是以为圆心，半径的圆，且.由垂径定理知：.10分18.解：（1）当时，不等式即为，解得；当时，不等式即为，解得； 当时，不等式即为，此
8、时无解，综上可知，不等式解集.6分（2），欲证，需证，即证，即，即证，因为，所以显然成立.所以成立. 12分19.解：（1）由的面积为，得.因，所以，所以，得，又，由余弦定理得： ，所以.6分（2）法一：由（1）中.解得，由正弦定理得：，所以，法二：由（1）有，所以.由正弦定理得，所以.12分20、解： (1)记“抽取的2天送餐单数都大于40”为事件M，则P(M).4分(2)设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a38时，X384152；当a39时，X394156：当a40时，X404160；当a41时，X40416166；当a42时，X40426172.所以X的所有可能取值为152，156，160
9、，166，172.故X的分布列为X152156160166172P所以E(X)152156160166172162. 9分依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.4400.2410.1420.139.5.所以甲公司送餐员日平均工资为70239.5149(元)由得乙公司送餐员日平均工资为162元因为149162，故推荐小明去乙公司应聘12分21.解：(1) ，来源: 且各项为正，又，所以，再由得，所以是首项为1，公差为3的等差数列，4分(2)， ，8分 恒成立 ，即恒成立.设，当时，；时，.12分22.解：(1)因为，易知在上为增函数，则，故在上为增函数，又，所以函数在上的零点有且只有1个. 4分(2)因为，由题意在上恒成立，5分因为显然成立，故只需在上恒成立，令，则因为由(1)可知: 在上为增函数，故在上有唯一零点记为， ， ，则， ，9分则在为减函数，在为增函数，故时，有最小值.令，则最小值有 ，因，则的最小值大约在之间，故整数的最大值为6. 12分9第页
