《湖南省师大附中2019届高三数学月考试题（六）文（含解析） - 副本》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省师大附中2019届高三数学月考试题（六）文（含解析） - 副本（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 湖南省师大附中湖南省师大附中 20192019 届高三数学月考试题 六 文 含解析 届高三数学月考试题 六 文 含解析 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 8 页 时量 120 分钟 满分 150 分 第 卷 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 M Error N Error 则集合 M N B A B 1 2 1 1 2 1 C D 1 2 1 解析 由 M Error 得 M N Error 得 N 则 M N x 1 x 1 y 1 2 y 0 故 f f 4 选 B l
2、n 5 ln 5 eln 5 1 8 如图 正方形 ABCD 的边长为 1 延长 BA 至 E 使 AE 1 连接 EC ED 则 sin CED B 3 A B 3 10 10 10 10 C D 5 10 5 15 解析 由图象知 DEA tan CEB 所以有 tan CED tan DEA CEB tan 4 1 2 再根据同角三角函数关系式 可求出 sin CED 选 B 4 CEB 1 tan CEB 1 tan CEB 1 3 10 10 9 若实数数列 1 a1 a2 a3 81 成等比数列 则圆锥曲线 x2 1 的离心率是 y2 a2 D A 或 B 或 C D 1 3 10
3、10 2 2 3 2 2 3 10 解析 因为 1 a1 a2 a3 81 成等比数列 所以 a 1 81 81 a2 9 等 2 2 比数列的奇数项同号 所以圆锥曲线的方程为 x2 1 其中 a 1 b 3 c y2 9 1 9 离心率为 e 故选 D 10 c a 10 10 若函数 f x 为奇函数 g x 则不等式 g x 1 的解集是 A 2x a 2x 1 aln x x 0 eax x 0 A 0 B 0 1 0 1 e 1 e 0 C D 1 e 1 1 e 解 析 因 为 函 数 f x 为 奇 函 数 f 0 0 a 1 g x 2x a 2x 1 所以不等式 g x 1
4、的解集为 x 0 故答案选 A ln x x 0 e x x 0 0 1 e 11 四棱锥 P ABCD 的三视图如图所示 四棱锥 P ABCD 的五个顶点都在一个球面上 E F 分别是棱 AB CD 的中点 直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 则该球表面积为 A 2 A 12 B 24 C 36 D 48 4 解析 由三视图可知 该三视图所表示几何体的直观图如下图所示的四棱锥 P ABCD 其中 底面 ABCD 为正方形 PA 底面 ABCD PA AB a 该四棱锥外接球的球心为 PC 的中 点 O 由直观图可知 O 到线段 EF 的距离为 球的半径 R 所以 直线 EF 被球面所截得
5、 a 2 3a 2 的线段长为 2 a 2 即 a 2 R 所以该球的表面积为 S 4 R2R2 a 2 2 22 3a 2 3 12 故选 A 12 已知a b是实数 1和 1是函数f x x3 ax2 bx的两个极值点 设h x f f x c 其中 c 2 2 函数 y h x 的零点个数 D A 8 B 11 C 10 D 9 解析 f x 3x2 2ax b 由题意 1 和 1 是方程 3x2 2ax b 0 的两根 所以 有 1 1 1 1 求得 a 0 b 3 所以 f x x3 3x 若令 f x t 2a 3 b 3 则 h x f t c 考查方程 f x d d 2 2
6、的根的情况 因为 f 2 d 2 d0 函数 f x 的图象是连续不断的 所以 f x d 在 2 1 内有 唯一零点 同理可以判断 f x d 在 1 1 1 2 内各有唯一的零点 所以得到方程 f x d d 2 2 的根有 3 个 再看函数 y h x 的零点 当 c 2 2 时 f t c 有三 个不同的根 x1 x2 x3 且 x1 x2 x3 2 2 而 f x t 有三个不同的根 所以函数 y h x 有 9 个零点 故选 D 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题
7、共 4 个小题 每小题 5 分 满分 20 分 请把答案填在答题卷对应题 号后的横线上 13 有三张卡片 分别写有 1 和 2 1 和 3 2 和 3 甲 乙 丙三人各取走一张卡片 甲看了乙的卡片后说 我与乙的卡片上相同的数字不是 2 乙看了丙的卡片后说 我与 丙的卡片上相同的数字不是 1 丙说 我的卡片上的数字之和不是 5 则甲的卡片上的数 字是 1 和 3 解析 先从丙说可得丙拿的是 1 和 2 或 1 和 3 再由乙说的可得乙拿的是 2 和 3 再 从甲说的可得甲拿的是 1 和 3 14 圆心在直线 2x y 7 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A 0 4 B 0 2 则圆 C 的方
8、程为 x 2 2 y 3 2 5 解析 圆 C 与 y 轴交于 A 0 4 B 0 2 由垂径定理得圆心在 y 3 这 条直线上 又 已知圆心在直线 2x y 7 0 上 联立解得 x 2 圆心 y 3 2x y 7 0 C 为 2 3 半径 r AC 所求圆 C 的方程为 x 2 2 y22 3 4 25 3 2 5 故答案为 x 2 2 y 3 2 5 5 15 已知锐角 ABC 的外接圆半径为BC 且 AB 3 AC 4 则 BC 3 3 13 解析 设 ABC 的外接圆半径为 R 2R sin A 又 A 为锐角 A BC sin A BC 2R 3 2 BC2 32 42 2 3 4
9、cos 13 BC 3 3 13 16 已知 O 为三角形 ABC 的外心 AB 2a AC BAC 120 若 x y 2 a AO AB AC 则 3x 6y 的最小值为 6 2 2 解析 x y x 2 y 4a2x 2y 2a2 同理 AO AB AC AO AB AB AB AC AO AC x y 2 2x y 联立 可得 3x 6y 2a2 4AB AC AC 4 a2 2 a2 x 2a 2 1 3a2 y a 2 2 3 2a2 1 a2 6 2a2 6 2 6 2 当且仅当 2a2 a 时 等号成立 即 3x 1 a2 2a2 1 a2 2 1 a2 1 2 1 4 6y
10、的最小值是 6 2 2 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 12 分 在等比数列中 已知 a4 8a1 且 a1 a2 1 a3成等差数列 an 1 求数列的通项公式 an 2 求数列的前 n 项和 Sn an 4 解析 1 设数列的公比为 q 则 a4 a1 q3 8a1 q 2 2 分 an 又 a1 a2 1 a3成等差数列 即 2 a1 a3 a1 2 4 分 a2 1 an 2n 6 分 2 当 n 1 时 a1 4 210 时 0 此时函数为单调递增函数 故当 x 20 36 时 时段投入保z 护性成本的预报值随着温度的升高而增大 12 分 20 本
11、题满分 12 分 如图 设双曲线 C1 1 a 0 b 0 的上焦点为 F 上顶点为 A 点 B 为双曲线虚 y2 a2 x2 b2 8 轴的左端点 已知 C1的离心率为 且 ABF 的面积 S 1 2 3 3 3 2 1 求双曲线 C1的方程 2 设抛物线 C2的顶点在坐标原点 焦点为 F 动直线 l 与 C2相切于点 P 与 C2的准线 相交于点 Q 试推断以线段 PQ 为直径的圆是否恒经过 y 轴上的某个定点 M 若是 求出定点 M 的坐标 若不是 请说明理由 解析 1 由已知 即 2a c 则 4a2 3c2 c a 2 3 3 3 即 4a2 3 a2 b2 得 a b c 2b 2
12、 分 3 又 c a b 1 则 2b b b 2 得 b 1 4 分 1 2 3 2 33 从而 a c 2 所以双曲线 C1的方程为 x2 1 5 分 3 y2 3 2 由题设 抛物线 C2的方程为 x2 8y 准线方程为 y 2 7 分 由 y x2 得 y x 设点 P 则直线 l 的方程为 y x x0 x x0 1 8 1 4 x 0 1 8x 1 8 2 0 1 4 即 y x0 x x 联立 y 2 得 Q 9 分 1 4 1 8 2 0 x 16 2x0 2 假设存在定点 M 0 m 满足题设条件 则 0 对任意点 P 恒成立 MP MQ 因为 MP x 0 1 8x m M
13、Q x 16 2x0 2 m 则 m 2 x m 0 x 16 2 1 8 2 0 即x m m 2 8 0 对任意实数 x0恒成立 11 分 2 m 8 2 0 所以即 m 2 故以 PQ 为直径的圆恒经过 y 轴上的定点 M 0 2 12 2 m 0 m m 2 8 0 分 21 本题满分 12 分 已知 f x ex g x x2 2x a a R R 1 讨论函数 h x f x g x 的单调性 2 记 x 设 A x1 x1 B x2 x2 为函数 x 图象上 f x x 0 的两点 且 x10 时 若 x 在 A B 处的切线相互垂直 求证 x2 x1 1 若在点 A B 处的切
14、线重合 求 a 的取值范围 解析 1 h x ex x2 2x a 则 h x ex x2 a 2 2 分 当 a 2 0 即 a 2 时 h x 0 h x 在 R R 上单调递减 3 分 当 a 2 0 即 a 2 时 h x ex x2 a 2 ex x x a 2a 2 此时 h x 在 及 上都是单调递减的 在 a 2a 2a 2a 2 上是单调递增的 5 分 2 g x 2x 2 据题意有 2x1 2 2x2 2 1 又 0 x10 且 2x2 2 0 2x1 2 2x2 2 1 9 故 x2 x1 2x1 2 2x2 2 1 1 2 2x1 2 2x2 2 当且仅当 2x1 2
15、2x2 2 1 即 x1 x2 时取等号 8 分 1 2 3 2 法 2 x2 1 0 1 x1 1 1 4 1 x1 x2 x1 1 x1 2 1 1 4 1 x1 1 x1 1 4 1 x1 当且仅当 1 x1 x1 时取等号 8 分 1 4 1 x1 1 2 要在点 A B 处的切线重合 首先需在点 A B 处的切线的斜率相等 而 x 0 时 x f x ex 0 1 则必有 x1 0 x2 1 即 A x1 ex1 B x2 x 2x2 a 2 2 A 处的切线方程是 y ex1 ex1 x x1 y ex1x ex1 1 x1 B 处的切线方程是 y x 2x2 a 2x2 2 x
16、x2 2 2 即 y 2x2 2 x x a 10 分 2 2 据题意则 4a 4 ex1 ex1 4x1 8 x1 0 ex1 2x2 2 ex1 1 x1 x a 设 p x ex ex 4x 8 x 0 p x 2ex ex 2x 2 设 q x ex 2x 2 x0 在 0 上恒成立 则 q x 在 0 上单调递增 q x q 0 10 p x 在 0 上单调递增 则 p x p 0 7 再设 r x ex 4x 8 x0 r x 在 0 上单调递增 r x r 0 70 在 0 恒成立 即当 x 0 时 p x 的值域是 0 7 故 4a 4 0 7 1 a 即为所求 12 分 3 4 请考生在第 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 做答时请 写清题号 22 本题满分 10 分 选修 4 4 极坐标与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 t 为参数 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴 x m 2 2 t y 2 2 t 为极轴建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 2cos2 3 2sin2 12 且曲线 C 的左焦 点 F 在直线 l 上 1 若直
