《2016-2017学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 最大值与最小值课件 苏教版选修1-1.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 最大值与最小值课件 苏教版选修1-1.ppt（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 3 3 最大值与最小值 第三章 3 3 导数在研究函数中的应用 1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 函数f x 在闭区间 a b 上的最值 函数f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得最大值与最小值 函数的最值必在 处或 处 取得 知识点二 求函数y f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与 的函数值f a f b
2、 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 答案 端点极值点 极值 端点处 最大值最小值 知识点三 最值与极值的区别与联系 1 极值是对某一点附近 即局部 而言 最值是对函数的定义区间的整体而言 2 在函数的定义区间内 极大 小 值可能有多个 但最大 小 值只有一个 或者没有 3 函数f x 的极值点为定义域中的内点 而最值点可以是区间的端点 4 对于可导函数 函数的最大 小 值必在极大 小 值点或区间端点取得 如图是y f x 在区间 a b 上的函数图象 显然f x1 f x3 f x5 为极大值 f x2 f x4 f x6 为极小值 最大值y M f x3 f b 分别在x x3及x b处
3、取得 最小值y m f x4 在x x4处取得 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 求函数在闭区间上的最值 例1 求下列各函数的最值 1 f x 2x3 6x2 3 x 2 4 解 f x 6x2 12x 6x x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 令f x 0 得x 0或x 2 x 2 2 0 0 0 2 2 2 4 4 f x 0 0 f x 37 极大值3 极小值 5 35 当x 4时 f x 取最大值35 即f x 的最大值为35 最小值为 37 当x 2时 f x 取最小值 37 解析答案反思与感悟 2 f x x3 3x2 6x 2 x 1 1 解 f x
4、3x2 6x 6 3 x2 2x 2 3 x 1 2 3 f x 在 1 1 内恒大于0 f x 在 1 1 上为增函数 故x 1时 f x 最小值 12 x 1时 f x 最大值 2 即f x 的最小值为 12 最大值为2 反思与感悟 1 求函数的最值 显然求极值是关键的一步 但仅仅是求最值 可用下面 简化的方法求得 求出导数为零的点 比较这些点与端点处函数值的大小 就可求出函数的最大值和最小值 2 若函数在闭区间 a b 上连续且单调 则最大 最小值在端点处取得 解析答案 跟踪训练1 求下列函数的最值 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 0时 f x 有最小值f 0 0
5、 即f x 的最小值为0 最大值为 当x 2 时 f x 有最大值f 2 解析答案 2 f x e x ex x 0 a a为正实数 当x 0 a 时 f x 0恒成立 即f x 在 0 a 上是减函数 故当x a时 f x 有最小值f a e a ea 当x 0时 f x 有最大值f 0 e 0 e0 0 即f x 的最小值为e a ea 最大值为0 解析答案 题型二 含参数的函数的最值问题 例2 已知函数f x x3 3x2 9x a 1 求f x 的单调递减区间 解 f x 3x2 6x 9 3 x 1 x 3 令f x 0 得x 1或x 3 故函数f x 的单调递减区间为 1 3 解析
6、答案 2 若f x 在区间 2 2 上的最大值为20 求它在该区间上的最小值 解 因为f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a 所以f 2 f 2 因为在 1 3 上f x 0 所以f x 在 1 2 上单调递增 所以f 1 是f x 的极小值 且f 1 a 5 所以f 2 和f 1 分别是f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 于是有22 a 20 解得a 2 所以f 1 2 5 7 即函数f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 反思与感悟 反思与感悟 函数的最值与极值及单调性密切相关 因而在求解函数的最值的 问题时 一般都要判断函数的单调性与极值点 导
7、数是研究函数 与极值的有力工具 解析答案 跟踪训练2 已知函数f x ax3 6ax2 b在 1 2 上有最大值3 最小值 29 求a b的值 解析答案 解 由题意 知a 0 所以令f x 0 得x 0或x 4 舍去 若a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 1 0 0 0 2 f x 0 f x 单调递增 极大值单调递减 由上表 知当x 0时 f x 取得最大值 所以f 0 b 3 又因为f 2 16a 3 f 1 7a 3 故f 1 f 2 所以当x 2时 f x 取得最小值 即 16a 3 29 解得a 2 因为f x 3ax2 12ax 3ax x 4 x 1 2 若
8、a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 1 0 0 0 2 f x 0 f x 单调递减 极小值单调递增 所以当x 0时 f x 取得最小值 所以f 0 b 29 又因为f 2 16a 29 f 1 7a 29 故f 2 f 1 所以当x 2时 f x 取得最大值 即 16a 29 3 解得a 2 解析答案 题型三 函数最值的应用 例3 设函数f x tx2 2t2x t 1 x R t 0 1 求f x 的最小值h t 解 f x t x t 2 t3 t 1 x R t 0 当x t时 f x 取最小值f t t3 t 1 即h t t3 t 1 解析答案 2 若h t
9、2t m对t 0 2 恒成立 求实数m的取值范围 解 令g t h t 2t m t3 3t 1 m 由g t 3t2 3 0得t 1 t 1 不合题意 舍去 当t变化时g t g t 的变化情况如下表 t 0 1 1 1 2 g t 0 g t 单调递增1 m单调递减 对t 0 2 当t 1时 g t max 1 m h t 2t m对t 0 2 恒成立 也就是g t 0对t 0 2 恒成立 反思与感悟 只需g t max 1 m1 故实数m的取值范围是 1 反思与感悟 1 恒成立 问题向最值问题转化是一种常见的题型 一般地 可采用分离 参数法进行转化 f x 恒成立 f x max f x
10、 恒成立 f x min 对于 不能分离参数的恒成立问题 直接求含参函数的最值即可 2 此类问题特别要小心 最值能否取得到 和 不等式中是否含等号 的情况 以此来确定参数的范围能否取得 解析答案 跟踪训练3 已知函数f x ax4ln x bx4 c x 0 在x 1处取得极值 3 c 其中a b c为常数 若对任意x 0 不等式f x 2c2恒 成立 求c的取值范围 解析答案 解 由题意 知f 1 3 c 因此b c 3 c 从而b 3 所以对f x 求导 得 x3 4aln x a 12 由题意 知f 1 0 即a 12 0 得a 12 所以f x 48x3ln x x 0 令f x 0
11、得x 1 当0 x 1时 f x 0 此时f x 为减函数 当x 1时 f x 0 此时f x 为增函数 所以f x 在x 1处取得极小值f 1 3 c 并且此极小值也是最小值 所以要使f x 2c2 x 0 恒成立 只需 3 c 2c2即可 解析答案返回解后反思 思想方法 分类讨论思想的应用 解析答案解后反思 分析 1 求出g x 的表达式是解题的关键 2 构造辅助函数 结合单调性求解 3 显然g x 的最值决定了参数a的取值范围 当x 0 1 时 g x 0 故g x 的单调递减区间是 0 1 单调递增区间是 1 因此 x 1是g x 的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以g x
12、 的最小值为g 1 1 当x 1 时 g x 0 解析答案解后反思 当x 0 1 1 时 h x 0 h 1 0 因此 h x 在 0 内单调递减 解后反思 3 由 1 知g x 的最小值为1 解得0 a e 返回 解后反思 当堂检测 12345 解析答案 1 函数f x x2 4x 7 在x 3 5 上的最大值和最小值分别是 解析 f x 2x 4 当x 3 5 时 f x 0 故f x 在 3 5 上单调递减 故f x 的最大值和最小值分别是10 2 10 2 解析答案 12345 2 函数f x x3 3x x 1 有最大值 但无最小值 有最大值 也有最小值 无最大值 但有最小值 既无最
13、大值 也无最小值 解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 1 时 f x 0 所以f x 在 1 1 上是单调递减函数 无最大值和最小值 故 正确 12345 解析答案 解析 因为y 1 cos x 所以y的最大值为ymax sin 解析答案 12345 4 函数f x x3 3x2 9x k在区间 4 4 上的最大值为10 则其最小值 为 解析 f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 由f x 0得x 3或x 1 又f 4 k 76 f 3 k 27 f 1 k 5 f 4 k 20 由f x max k 5 10 得k 5 f x min k 76 71 71 解析答
14、案 12345 5 已知a为实数 f x x2 4 x a 若f 1 0 函数f x 在 2 2 上 的最大值为 最小值为 解析 由原式 得f x x3 ax2 4x 4a f x 3x2 2ax 4 f x 3x2 x 4 课堂小结 返回 1 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对 整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间 a b 内的可导函数不一定有最 值 但若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 3 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 而函数的极值则可能不 止一个 也可能没有极值 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 最小值 2 求含参数的函数最值 可分类讨论求解 3 恒成立 问题可转化为函数最值问题
