《高一数学人教A版必修四教案：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1） Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学人教A版必修四教案：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1） Word版含答案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)教案一、教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(-)与cos(+),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即+=-(-)的关系，从而由公式C(-)推得公式C(+)，又如比较sin(-)与cos(-)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公
2、式S(-)、S(+)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分
3、析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学
4、生分析问题解决问题的能力.3情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.三、重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、课时安排2课时五、教学设想第1课时（一）导入新课 思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(-)与cos(+)、sin(-)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(+)、S(-)、S(+).本节课我们
5、共同研究公式的推导及其应用. 思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sin=，(0,)，cos=,(0,),求cos(-),cos(+)的值.学生利用公式C（-）很容易求得cos（-），但是如果求cos（+）的值就得想法转化为公式C（-）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.（二）推进新课、新知探究、提出问题还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.在公式C(-)中，角是任意角，请学生思考角-中换成角-是否可以？此时观察角+与-(-)之间的联系，如何利用公式C(-)来推导cos(
6、+)=?分析观察C(+)的结构有何特征？在公式C(-)、C(+)的基础上能否推导sin(+)=?sin(-)=?公式S(-)、S(+)的结构特征如何？对比分析公式C(-)、C(+)、S(-)、S(+)，能否推导出tan(-)=?tan（+）=？分析观察公式T(-)、T(+)的结构特征如何？思考如何灵活运用公式解题？ 活动：对问题，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的,既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(-)与cos(+)中角的内在联系，学生有的会发现-中的角可以变为角-，所以-(-)=+
7、也有的会根据加减运算关系直接把和角+化成差角-(-)的形式.这时教师适时引导学生转移到公式C(-)上来,这样就很自然地得到cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin.所以有如下公式：cos(+)=coscos-sinsin我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(+).对问题，教师引导学生细心观察公式C(+)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C(-)进行记忆，并填空：cos75=cos(_)=_=_.对问题，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与
8、差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2+cos2=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(+)=cos-(+)=cos(-)-=cos(-)cos+sin(-)sin=sincos+cossin.在上述公式中,用-代之，则sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+cossin(-)=sincos-cossin.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(+)、S(-).sin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin. 对问题，教师恰时恰点地
9、引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(+)=_，sin=_. 对问题，教师引导学生思考，在我们推出了公式C(-)、C(+)、S(+)、S(-)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(-)=?,tan(+)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.当cos(+)0时，tan(+)=如果coscos0,即cos0且cos0时,分子、分母同除以coscos得ta
10、n(+)=，据角、的任意性，在上面的式子中，用-代之，则有tan(-)=由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(-)、T(+).tan(+)=tan(-)= 对问题,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中、的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，、都不能等于+k(kZ)，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆. 对问题，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C(+)、S(+)、T(+)叫和角公式；S(-)、C(-)、T(-)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内
11、在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式 tan+tan=tan(+)(1-tantan)，tan-tan=tan(-)(1+tantan)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tan，tan或tan（）的值不存在时，不能使用T（）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(-)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(-)=来处理等.（三）应用示例思路1例1 已知sin=,是第四象限角，求sin(-),c
12、os(+),tan(-)的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cos,tan的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sin=,是第四象限角，得cos=.tan=.于是有sin(-)=sincos-cossin=cos(+)=coscos-sinsin=tan(-)=. 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.
13、变式训练1.不查表求cos75,tan105的值.解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=,tan105=tan(60+45)= =-(2+).2.设(0,),若sin=,则2sin(+)等于( )A. B. C. D.4答案：A例2 已知sin=,(,),cos=,(,).求sin(-),cos(+),tan(+). 活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S(-)、C(+)、T(+)应先求出cos、sin、tan、tan的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角
14、函数值的符号.解：由sin=,(,),得cos=-=，tan=.又由cos=,(,).sin=,tan=.sin(-)=sincos-cossin=()-(.cos(+)=coscos-sinsin=()()-()=tan(+)=. 点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练 引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x米，CAB=，则sin=，在RtABD中，tan(45+)=tan.于是x=,又sin=,(0,),cos,tan.tan(45+)=3,x=-30=150(米).答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在AB
