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1、绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至2页，第卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么P
2、(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)P(B)棱柱的体积公式V=Sh球的体积公式其中S表示棱柱的底面面积，其中表示球的半径h表示棱柱的高一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设集合，则（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，故选B（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（A）（B）1（C）（D）3【答案】D（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】初始：，进入循环后的值依次为，输出，故选C（4）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件
3、（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，但时，不满足，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A（5）已知双曲线的左焦点为，离心率为若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由题意得，故选B（6）已知奇函数在R上是增函数，若，则a，b，c的大小关系为（A）（B）（C）（D）【答案】C（7）设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则（A），（B），（C），（D），【答案】A【解析】由题意得，其中，所以，又，所以，所以，由得，故选A（8）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】A当时，(
4、*)式为，又（当时取等号），（当时取等号），所以综上，故选A第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共12小题，共110分。二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分（9）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为_【答案】【解析】为实数，则（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_【答案】【解析】设正方体的边长为，则，其外接球直径为，故这个球的体积（11）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为_【答案】2【解析】直线为，圆为，因为，所以有两个交点（12）若，则的最小值为_【答案】（13）在中，若，且，则的值为_【答
5、案】【解析】由题可得，则（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个（用数字作答）【答案】【解析】三解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为已知，（）求和的值；（）求的值【解析】（）在中，因为，故由，可得由已知及余弦定理，有，所以由正弦定理，得所以，的值为，的值为（16）（本小题满分13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布
6、列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率【解析】（）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望（）设表示第1辆车遇到红灯的个数，表示第2辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为（17）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2（）求证：MN平面BDE；（）求二面角C-EM-N的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长【解析】
7、如图，以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）（）易知为平面CEM的一个法向量设为平面EMN的法向量，则，因为，所以不妨设，可得因此有，于是所以，二面角C-EM-N的正弦值为（18）（本小题满分13分）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和【解析】（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为由已知，得，而，所以又因为，解得所以，由，可得 由，可得 ，联立，解
8、得，由此可得所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为（19）（本小题满分14分）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为（）求椭圆的方程和抛物线的方程；（）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程【解析】（）设的坐标为依题意，解得，于是所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为（）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故将与联立，消去，整理得，解得或由点异于点，可得点由，可得直线的方程为，（20）（本小题满分14分）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数（）求的单调区间；（）设，函数，求证：；（）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足【解析】（）由，可得，进而可得令，解得或当x变化时，的变化情况如下表：x+-+所以，的单调递增区间是，单调递减区间是令函数，则由（）知，在上单调递增，故当时，单调递增；当时，单调递减学科&网因此，当时，可得，即所以，（III）对于任意的正整数，且，令，函数由（）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点，所以在内至少有一个零点，不妨设为，则由（）知在上单调递增，故，于是因为当时，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故又因为，均为整数，所以是正整数，从而，所以所以，只要取，就有
