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1、微专题85 几何概型一、基础知识:1、几何概型:每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型2、对于一项试验,如果符合以下原则:(1)基本事件的个数为无限多个(2)基本事件发生的概率相同则可通过建立几何模型,利用几何概型计算事件的概率3、几何概型常见的类型,可分为三个层次:(1)以几何图形为基础的题目:可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域,从而求出比例即可得到概率。(2)以数轴,坐标系为基础的题目:可将所求事件转化为数轴上的线段(或坐标平面的可行域),从而可通过计算长度(或面积)的比例求的概率(将问题转化为第(1)类问题
2、)(3)在题目叙述中,判断是否运用几何概型处理,并确定题目中所用变量个数。从而可依据变量个数确定几何模型:通常变量的个数与几何模型的维度相等:一个变量数轴,两个变量平面直角坐标系,三个变量空间直角坐标系。从而将问题转化成为第(2)类问题求解二、典型例题:例1:已知函数,在定义域内任取一点,使的概率是( )A. B. C. D. 思路:先解出时的取值范围:,从而在数轴上区间长度占区间长度的比例即为事件发生的概率,所以答案:C例2:如图,矩形内的阴影部分是由曲线及直线与轴围成,向矩形内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为,则的值是( )A. B. C. D. 思路:落在阴影部分的概率即为阴影部分面
3、积与长方形面积的比值长方形的面积,阴影面积,所以有,可解得,从而答案:B例3:已知正方形的边长为2,是边的中点,在正方形内部随机取一点,则满足的概率为( )A. B. C. D. 思路:可理解为以为圆心,为半径的圆的内部,通过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的比例。可将阴影部分拆为一个扇形与两个直角三角形,可计算其面积为,正方形面积,所以答案:B小炼有话说:到某定点的距离等于(或小于)定长的轨迹为圆(或圆的内部),所以从和为定点便可确定所在的圆内例4:一个多面体的直观图和三视图所示,是的中点,一只蝴蝶在几何体内自由飞翔,由它飞入几何体内的概率为( )A. B. C. D. 思路:所求概
4、率为棱锥的体积与棱柱体积的比值。由三视图可得,且两两垂直,可得,棱锥体积,而,所以。从而答案:D例5:如图,点等可能分布在菱形内,则的概率是( )A. B. C. D. 思路:对联想到数量积的投影定义,即乘以在上的投影,不妨将投影设为,则,即即可,由菱形性质可得,取中点,有,所以 且垂足四等分,点位置应该位于内。所以 答案:D例6:某人睡午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,则他等待时间不多于15分钟的概率为( )A. B. C. D. 思路:所涉及到只是时间一个变量,所以考虑利用数轴辅助解决。在一个小时中,符合要求的线段长度所占的比例为,所以概率答案:B例7:已知函数,若都是区间
5、内的数,则使成立的概率是( )A. B. C. D. 思路:题目中涉及两个变量,所以考虑利用直角坐标系解决。设为“在区间内”,则要满足的条件为: ,设事件为“成立”,即,所以要满足的条件为:,作出各自可行域即可得到 答案:C例8:在区间上随机取两个数,记为事件“”的概率,为事件“”的概率,为事件“”的概率,则( )A. B. C. D. 思路:分别在坐标系中作出“”,“”,“”的区域,并观察或计算其面积所占单位长度正方形的比例,即可得到的大小:答案:B例9:小王参加网购后,快递员电话通知于本周五早上7:30-8:30送货到家,如果小王这一天离开家的时间为早上8:00-9:00,那么在他走之前拿
6、到邮件的概率为( )A. B. C. D. 思路:本题中涉及两个变量,一个是快递员到达的时刻,记为,一个是小王离开家的时刻,记为,由于双变量所以考虑建立平面坐标系,利用可行域的比值求得概率。必然事件所要满足的条件为: ,设“小王走之前拿到邮件”为事件,则要满足的条件为: ,作出和的可行域,可得答案:D例10:已知一根绳子长度为,随机剪成三段,则三段刚好围成三角形的概率为_思路:随机剪成三段,如果引入3个变量,则需建立空间坐标系,不易于求解。考虑减少变量个数,由于三段的和为,设其中两段为,则第三段为。只用两个变量,所以就可以建立平面直角坐标系进行解决。设为“一根绳子随机剪三段”,则要满足的条件为:,设事件为“三段围成三角形”,则任意两边之和大于第三边,所以满足的条件为,在同一坐标系作出的可行域。则 答案: