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1、折纸与数学 一 背景 折纸数理研究的进展 折纸科学研究国际会议 数学教育中的折纸 日本 英美等国 中国 教科书中的折纸 二 折纸数理学的成立 英语中有两种说法 一种为folding paper 另一种为origami 第一本专著是桑达拉写于1896的 折纸中的 几何练习 1924年拉波出版了 折纸的操作 贝洛柯于1935和1936年分别发表了优秀论文 用折纸解几何问题 和 用折纸解3次和4 次方程 二 折纸数理学的成立 续 70年代 日本学者将目光重新投向折纸 中的数理 特别是伏见康治夫妇的著作 折纸几何 学 之后在日本形成了一个研究折纸数理的 高潮 结成了多个研究团体 也出版了许 多的专著
2、芳贺和夫 阿部恒 堀井洋子 布施知 子 笠原邦彦 前川淳等学者作出了较 大的贡献 二 折纸数理学的成立 续 进入90年代 在世界上许多国家掀起一股热 潮 起因可能与1989年在意大利的费拉拉召开 的第一届折纸科学国际会议有关 1994年在第二届折纸科学国际会议上 日本 学者芳贺和夫提议 在origami的词未加上后 缀ics 用来表示正在形成的用折纸来探究数 理的一门新学问 三 折纸研究 数学 工学 破坏工学 汽车新材料 气囊 生活 易打开的地图 新型饮料瓶 建筑学 轻巧 结实大楼的设计 生物学 蛋白质折纸 医学 微型手术刀 支架 人造血管 航空 航天 太阳能集光板 射电望 远镜 降落伞的折叠
3、 航天飞船船帆 艺术1 艺术2 折纸的应用例 馆知宏 2006 人造血管 牛津大学ashi的发明 栗林的发明 四 折纸与分数 分数的概念 同分母分数的加 减法 分数的性质 异分母分数的加减法 分数的乘除法 五 折纸与图形的性质 几个概念 垂直 平行 对称 图形的面积 三角形 平行四边形 梯形 图形的性质 三角形的中线 高 角平分线 六 折纸几何学公理 1 给定两点P1 P2 总能折一条线过这两点 连点折 2 给定两点P1 P2 总能将点P1折到点P2 合点折 3 给定两直线L1 L2 总能将直线L1折到直线L2上 合线折 v4 给定一点P1及一直线L1 总能过点P1折一直线垂 直于直线L1 v
4、5 给定两点P1 P2及一直线L1 总能过点P2折一直 线使得直线L1过点P1 圆规折 v6 给定两点P1 P2及两直线L1 L2 总能折一直线 使得直线L1过点P1且直线L2过点P2 三维折 七 基本折法及其性质 1 基本折法 连点折 圆规折 三维折 线自折 合点折 合线折 2 各种折法的性质 连点折 折痕为过两点的直线 合点折 折痕垂直平分连接两点的线段 合线折 折痕平分两线所成的角 线自折 折痕垂直于该线 八 折纸的种类 正方形折纸 特殊比例的长方形折纸 圆形折纸 三角形折纸 正多边形折纸 九 折纸问题的展开例 一 芳贺折纸三定理 1 芳贺第一定理 折法 发现 理由 设BA BC 1 B
5、F a 则BE 1 2 EF FC 1 a 由勾股定理得 解之得a 3 8 EF CF 5 8 利用 AHE BEF与 IHG的 相似关系可以求得 AH 2 3 EH 5 6 HI 1 6 GI 1 8 HG 5 24 2 芳贺第一定理的一般化 1 一般化1 中点 任意点 1 23 82 35 61 81 3 1 3 2 3 4 9 5 18 1 2 4 5 5 6 13 15 2 9 1 18 1 2 1 5 1 4 3 4 15 32 7 32 2 5 6 7 17 20 4 7 9 32 1 32 3 5 1 7 1 5 2 5 3 5 4 5 12 25 21 50 8 25 9 50
6、 1 3 4 7 3 4 8 9 13 15 29 35 17 20 41 45 8 25 9 50 2 25 1 50 2 3 3 7 1 4 1 9 1 6 5 6 35 72 11 72 2 7 10 11 37 42 61 66 25 72 1 72 5 7 1 11 2 一般化2 正方形 长方形 复印纸的特征 长边 短边 1 两大系列 A系列与B系列 A系列最大尺寸为A0 其面积为1平方米 B系列最大尺寸为B0 其面积为1 5平方米 容易推得A4两边的长分别为 与 米 1189mm与841mm 容易推得B4两边的长分别为 与 米 1456mm与1030mm 详细见下表 A0 A1 A
7、2 A3 A4 A5 A6 841 1189 594 841 420 594 297 420 210 297 148 210 105 148 B0 B1 B2 B3 B4 B5 B6 1030 1456 728 1030 515 728 364 515 257 364 182 257 128 182 A型 B型复印纸规格 单位mm 复印时的扩大与缩小 扩大缩小 A5 A3 B6 B4 200 A3 B4 A4 B5 87 A4 A3 B5 B4 141 B4 A4 B5 A5 82 A4 B4 A5 B5 122 A3 A4 B4 B5 71 复印纸中的几个关系 复印纸的秘密 复印纸的芳贺第一
8、 定理折法 横放 折法 略 猜想 确认 3 一般化3 一边中点 正方形内任一点 EF所在直线的方程为 折痕线FG的方程为 注 如果求出Rt EFH各边的 长 那么我们还能得到求毕达哥 拉斯数的一般公式 v4 芳贺第一定理的应用 v应用芳贺第一定理我们可以折出任意的真分数 并 能折得任意精度的角 v 1 折分数 方法1 利用前述的芳贺定理一般化 1 中得到的y2 的公式可知当x 1 n时 y 2 n 1 对折后可得 1 n 1 即由1 n可折得1 n 1 这样我们由1 2开 始可连续折可折得任一单位分数 v方法2 利用前述的分数表可快速折得任一真分数 v4 芳贺第一定理的应用 v第一定理我们可以
9、折出任意的真 分数 并能折得任意精度的角 v 1 折分数 该怎样折任一分数 v 方法1 利用前述的芳贺定理一 般化 1 中得到的y2的公式可知当x 1 n时 y 2 n 1 对折后可得 1 n 1 即由1 n可折得1 n 1 这样我们由1 2开始可连续折可折 得任一单位分数 v 方法2 利用前述的分数表可快 速折得任一真分数 利用上面的结果 我们 可以折出任意精度的角 原理 如右图所示 若 要折的角 的正切值与某分 数接近 则我们先想法折出 该分数 把表示该分数的点E 与点B连接得角 则 即为 所要折的角 例 由于tg32 00538 5 8 所以只要折出表示 5 8的点E 再折一条连接点B
10、E的折痕线即可得很精确的 32 角 2 折任意角 利用顺藤摸瓜的方式可折出其他一些角 32 16 8 4 2 1 58 29 74 37 82 41 86 43 88 44 89 61 53 49 47 这样我们可以折出48种角度的角 通过其它的一 些辅助角 可以得到1 89 的所有角 44 22 11 46 23 68 34 17 79 67 56 73 56 28 14 7 62 31 76 38 19 83 59 52 26 13 71 64 77 40 角的近似折法 因为 所以 只要我们能折出485 578就能得到相当 精确的40 角 实际上 只需进行三次芳贺第一定理折法 便可得到48
11、5 578 具体方法是 先取前述的第一定理一般化1中 先取x为1 4得y2 2 5 由此依次折出3 5 3 10便得7 10 再取x为7 10得 y2 14 17 最后取x为14 17 得y1 93 578 并由此得 485 578 5 芳贺第二定理 芳贺第三定理 折法 对点F G的位置作出猜想 给出理由 折法 对点点H的位置作出猜想 给出理由 6 6 芳贺第二 第三定理的一般化芳贺第二 第三定理的一般化 二 三角形折纸 1 米仓定理 问题的起源 米仓的发现 米仓定理的证明 米仓定理的一般化1 田 尻定理 证明 米仓定理的一般化2 上村定理 证明 证明思路 EOA与 OAB同为等腰三角形且底角
12、相等 而 ACB等于 AOB的一半 故 ACB AEF 上村定理变式1 上村定理变式2 田尻定理的一般化 渡边定理 内心与外心相对定理 正三角形折纸 如右上图所示 将正 三角形一顶点A折至 对边BC上的任一点 D B C除外 你有 何发现 能说出理由 吗 这个结论对一般 三角形是否成立 角平分线分对边成比例线段的证明 猜想 理由 三 折图形面积的1 n 折法 折一面积为原面积n分之一的正方形 波兰科学院院士施泰因豪斯 H D Steihaus 1887 1972 数学万花镜 参见沈康身著 数学的魅力1 四 正方形折纸线边合折问题 子母线问题 发现了 什么规律 为什么 线边折交点 性质说明图 五
13、 X型折线问题 你对图形 中的数量 关系有什 么猜想吗 说明图中数量关系的图 六 圆形折纸问题 七 二次曲线 用圆形折纸折椭圆 用圆形折纸折双曲线 抛物线的折法 八 用折纸来探究 1 梯形面积公式的推导 三角形面积 公式 的推导 九 用折纸来探究 续 2 三角形的中线 高线 角平分线 十 几个课题 1 正三角形的折法 折法1 折法2 折法3 2 拉丁十字架 能折 成什 么样 的立 体 1 能折成 什么样 的立体 2 拉丁十 字架的 展开 3 一刀剪 1 剪正方形 2 剪五角星 3 剪三角形 4 剪乌龟 4 三浦折法 用三浦折法折地图 宇宙飞船船帆 5 折直角三角板 1 30度 60度直角三角板的折法 2 45度直角三角板的折法 3 用直角三角板来探索 6 折七巧板 1 七巧板的折法 2 用七巧板来探索 3 七巧板折纸作品 7 四点合折问题 四点合折 四点合折 四点合折 四点合折 变式 长方形 三角形 高考题
