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1、. . .目录1. 摘要22. 数学期望理论简述33. 数学期望理论的应用53.1在证明等式和不等式中的应用53.2在投资理财问题中的应用73.3在天气预测问题中的应用83.4在求职决策问题中的应用83.5在委托代理问题中的应用93.6在法律纠纷问题中的应用104. 结论115. 参考文献126. 致谢12数学期望理论及其应用摘 要：数学期望是概率统计中一个重要的数字特征，在理论研究和实际问题解决方面有着广泛的应用.本文通过列举一些理论上和现今实际生活中相关的问题，同时利用数学期望的相关理论进行解决，从而达到理论联系实际的目的.关键词：概率统计；数学期望；决策The Mathematic Ex
2、pectation Theory and its ApplicationAbstract :The mathematic expectation is an important digital characteristic in the probability statistics, which has the widespread application in the fundamental research and the actual problem solution aspect. This article through enumerates some theoretically t
3、he question which is related with the nowadays practical life, simultaneously carries on the solution using mathematic expectations correlation theories, thus achieves the apply theory to reality the goal.Key words: Probability statistics；Mathematic expectation；Decision-making一、 数学期望理论简述数学期望是概率论发展早期
4、就形成的一个数字特征,也是其他诸如方差、高阶矩等数字特征的基础.它反映的是随机变量的平均取值，而随机变量又分为离散型随机变量和连续型随机变量，下面先简单介绍这两种随机变量的数学期望定义及相关性质.1. 离散型随机变量的数学期望1.1一维离散型随机变量的数学期望设X是离散型随机变量，它的概率函数是 如果 收敛，则定义X的数学期望为可以看出，离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.1.2二维离散型随机变量的数学期望若(,)是一个二维离散型随机变量,其联合分布列为又是实变量x,y的单值函数,如果则定义二维随机变量(,)的数学期望为上述是二维离散型随机变量的数学期望，对一般的n维随变量可以进行
5、推广也有相应的定理成立，在这里就不再多述了.2. 连续型随机变量的数学期望2.1一维连续型随机变量的数学期望设x是连续型随机变量，其密度函数为.如果收敛，定义连续随机变量x的数学期望为可以看出，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分. 2.2二维（n维）连续型随机变量的数学期望若(,)是一个二维连续型随机变量，其密度函数为，又是二元函数，则随机变量=(,)数学期望为这里也要求上述积分绝对收敛.如同1.2中所述，上述仅对二维的情况进行了叙述，对于n维的情况也同样可以推广得到相应的结论，在这里也不再多述.3. 随机变量函数的数学期望设已知随机变量x的分布， 那么x的某个函数的数学期望基本公式
6、如下：设x是一个随机变量，则其中，当x是离散时, x的概率函数为；当x是连续时x的密度函数为.4. 条件数学期望设随机变量X在Y=yj条件下的条件分布列为，又则称为X在Y=yj条件下的数学期望，简称条件期望，记为.5. 数学期望的性质对于随机变量的数学期望有如下几点性质，这些性质在解决一些问题或是证明相关定理中有重要应用.(1) 若,则存在,且有.特别,若C是一个常数,则EC=C.(2) 对于一二维离散型随机变量(,),若,存在,则对任意的实数存在且(3) 又若,是相互独立的,则存在且以上是对数学期望基本定义和性质的一个简述，其中关于定理和相关性质的证明参见文献1.对这些理论知识的叙述是为了方
7、便在后文例举问题中的应用，当然在整个概率统计中关于数学期望的定理和性质远不止这些，但在这里没有必要进行全面而详细的论述。下面重点来叙述数学期望在理论研究和实际生活中的广泛应用.二、 数学期望应用例举(一) 数学期望在证明等式或不等式中的应用在数学分析中常常要证明一些等式或不等式，常用的方法是利用归纳法或中值定理等.在这里本文将根据等式和不等式的特点，构造相应的概率模型或引进适当的随机变量，利用随机变量的数学期望来证明等式或不等式.例1 证明下列等式：， （1）， （2）分析：上面两个等式通常可以用排列组合的相关知识来进行证明，但从等式的形式可以看出，它们和概率论中二项分布公式有些相近，所以在这
8、里我们可以先构造一个二项分布模型，利用数学期望，用概率方法来证明.证明：先构造概率模型：假设某型号的高射炮向某一目标单独射击n次，其每次射中目标的概率是p，以表示其射中目标的次数，则服从二项分布，有设 ，因而，即令，得，（1）式得证.因为于是又因为所以取，则有故因此（2）式得证.从以上的证明过程可以看出，在构造出适当的概率模型之后，可以利用数学期望，用概率方法进行证明.在证明（1）式过程中主要利用离散型随机变量数学期望的基本定义，再结合二项分布随机变量的数学期望公式得出最后等式；而（2）式的证明主要是利用了数学期望的性质（3），进行简单变换、推导，从而证明结论.例2 对于可积函数，（），试证明
9、.分析：这个不等式的证明在数学分析中可以利用中值定理来证明，但也可以引入适当的随机变量，用概率方法来证明，在证明过程中需要应用下面概率论中的一个定理，该定理的证明可参见文献2.定理：设为上的随机变量，若为定义在某区间I上的连续的下凸函数，则有.若为I上的上凸函数，则有.证明：令，为严格正函数，则为正随机变量。考察上的连续下凸函数，对该函数运用上述定理，有，从而.而，.故也即结论得证.一般的在数学分析的证明当中，最常用的方法是利用中值定理，但在某些情况下，比如说所给函数的条件比较有限，利用中值定理方法也可能不能很好或方便的解决，这个时候就需要其他的方法.而该题证明的主要思路是引进随机变量，从而构
10、造随机变量函数结合上述定理，利用连续型随机变量数学期望的定义便可直接得出结论。因而，利用数学期望理论来解决此类问题有些时候会显得更加的方便和简洁，特别是在所给函数条件相对有限的情况下，此例所示的方法可供参考.(二) 数学期望在实际生活中的应用数学期望理论在实际生活中的应用主要体现在它是代表随机变量取值的平均值，因而可以利用其来进行决策-优化，从而帮助主体采取最优化的决策来达到最优的结果.下面将例举相关几个方面的例子来说明数学期望在实际生活中的广泛应用.1. 投资理财问题投资理财的目的是利用手中闲散货币进行货币再生，即所谓的“钱生钱”.在现实生活中投资有很多种方式，如债券，股票，期货，保险，存入
11、银行，房地产等等，这些都属于投资理财问题。在现今全球金融危机的新形势下如何有效的使货币增殖，某些方面可以利用数学期望来进行分析说明.假设某公司现有闲散资金50万元欲进行投资增殖，通过市场调查发现可有如下两种途径，购买A股票和投资B房地产.由于金融危机的影响，若经济形势渐好，则A股会增值40%；反之，若经济形势继续恶化，则A股会降值30%，同时经济学家预言今后经济形势好转的概率为0.6。若投资B房地产成功，则会获利35%，但若失败则会降值25%，同时投资房地产与市场清晰系数MCI(Market Clearance Index)有关.在这里先说明一下市场清晰系数MCI.MCI是交易投资者对市场目前
12、以及未来一段时期趋势的认知程度.一般的，不论交易者通过何种理论、何种方法，以及经验，只要能够完全辨别清楚市场目前的状态，以及能够准确判断在将来一段期间内的走势，便可以定义MCI=1；反之，如果完全不能辨别清楚市场目前的状态，以及不能够判断在一段期间内的走势，便定义MCI=0；显然.由此可见，MCI可以看作是交易者对市场目前状态判断准确程度的概率值，因而对于投资者可以知道投资的期望收益.那么该公司应如何投资，才能收益最大？现在我们利用数学期望来进行分析：由已知条件可计算该公司购买A股票的期望收益万元，投资B房地产的期望收益为万元.现令有所以，若,有，即当市场系数小于0.6时，该公司应该购买A股票
13、；若，有，即当市场系数大于0.6时，该公司应该投资B房地产；若，有,即当市场系数等于0.6时，该公司可以选择任意一种方案.投资理财是一种决策问题，因为每种方案都存在一定的风险，不同的方案是获利还是亏损是随机的，因而可以利用概率论中数学期望理论来进行分析，选择最大期望收益的方案.在现实的经济生活中，类似这样的投资决策问题都可以利用数学期望理论来说明.2. 天气预测问题自然生活中的天气状况是随机变化的，天气预报是根据气象观(探)测资料，应用天气学、动力学、统计学的原理和方法，对某区域或某地点未来一定时段的天气状况作出定性或定量的预测.在一些重大的工程或计划中，人们往往要考虑天气状况，而在某些方面天
14、气甚至起到决定性的作用.怎样根据天气预测来决定重要事项或计划是否执行也是人们值得思考的问题，下文中例将很好的说明这一点.2008年9月25日，我国自行研制的神舟七号载人飞船顺利升空，并首次完成宇航员出舱活动任务，为我国的航天事业又增添了辉煌的一笔.我国航天水平一直居于世界先进行列，运载火箭升空的成功率高达98%以上.这其中不可或缺的是众多科研人员对天气的把握，因为天气是运载火箭升空成功与否的一个关键因素，其必须满足：（1）无降水（2）地面风速小于每秒8米（3）水平能见度大于20公里（4）发射前8小时至发射后1小时，场区30公里至40公里范围内无雷电活动（5）船箭发射所经过空域3公里至18公里高空最大风速小于每秒70米.同时必须当这些条件的综合准确性系数达到90以上时，运载火箭才可发射，否则必须等待适合天气，择日发射.根
