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1、2018年福建师范大学物理与能源学院844量子力学考研仿真模拟五套题-一、简答题1 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。2 非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条
2、件。（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符数。（3）将体系的状态波函数用算符的本征函数展开： 则在盔中测量力学量得到结果为 （4）体系的状态波函数满足薛定谔方程其中是体系的哈密顿算符。的几率是得到结果在范围内的几率是得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。3 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁
3、通过一非均匀磁场，则电子分为两束。4 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符第 2 页，共 31 页定义电子的自旋算符，并验证它们其中，5 什么样的状态是定态，其性质是什么？【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变6 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量用算符表示，当体系处于某个能量态的作用是得到这一本征值，即当体系处于一般态的本征态时，算符对的作 时，算符对态用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即7 自发辐射和受激辐射的区别是什么？ 受激辐射是
4、处于激发能级低能级的。8 现有三种能级【答案】一维谐振子请分别指出他们对应的是哪些系统。对应一维无限深势阱；的原子被一个频率为【答案】自发辐射是原子处于激发能级时，可能自发地跃迁到较低能级去，并发射出光子的过程；的光子照射，受激发而跃迀到较同时发射出一个同频率的受激光子的过程。受激辐射的光子是相干的，自发辐射是随机对应中心库仑势系统，例如氢原子；对应二、证明题9 设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为【答案】设在或证明这一点。表象中，这自旋态的表示为： 则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为： 根据题给条件，有： 由此得：即：或 要么
5、自旋朝下第 3 页，共 31 页 这就意味着，此态要么是自旋朝上即都为自旋分量的本征态。在这两个本征态中，测量自旋分量的平无值分别为 10证明么正变换不改变算符的本征值。和【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为： 由于相似变换不改变矩阵本征值，故与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。三、计算题11若两个中子的相互作用哈密顿为是什么。（设没有外场）【答案】解法一：设总自旋则: 其中g 为作用常数，和分别为两个中子的自旋算符， 求分的本征值和本征函数。如果同时计入中子的空间波函数，则两中子体系的总波函数而两中子的自旋波函数只有四种情况（即有4个本特征态）。 自选交换对称波函数： 自旋交换反对称波函数： 显然与对易，二者有共同的本征态： 即的本征值为的对应波函数为 即的本征值为解法二：选择时对应的函数为表象（因为第 4 页，共 31 页 相互对易）。-一、简答题-考研试题-
