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1、2017年南开大学泰达学院719量子力学导论考研题库一、填空题1一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】 2 力学量算符必须是_算符，以保证它的本征值为_. 【答案】厄米；实数【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.3 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_和_; 它们的力学量完全集分别是_和_; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_和_。 【答案】耦合表象；非耦合表象； 4 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_当中的
2、某一个，测量结果一般来说是不确定的. 除非体系处于_。 【答案】本征值；定态【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.5 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_和在该点扰到粒子的_成正比。 【答案】强度；几率6 不确定关系是微观粒子_性质的数学表述。 【答案】波粒二象性、a 的对易关系式为_; 粒子数算符N 与、a 的关系是 ; 哈、a 表示的式子是_；N （亦即H ）的归一化本征态为_。 二、简答题7
3、电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】利用的几率密度；如何归一化？解释各项的几率意义。进行归一化，其中：表示粒子在|处表示粒子在处的几率密度。8 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；（3）分裂能级间距与能级有关； （4）由于电子具有自旋。9 厄米算符的本征值与本征矢分别具有什么性质？【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。10能级的简并度指的是什么？【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。11现有三种能级【答案】请分别指出他们对应的是哪些系统。对应一维无限深势阱；对应对应中心库仑势系统
4、，例如氢原子；一维谐振子12分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】 13简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在用算符的本征函数展开 态中测量粒子的力学量得到结果为的几率是得到结果在范围内的几率为 14描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。 三、证明题15（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征
5、函数彼此正交.（3）对于角动量算符证明它是厄米算符，并且求解其本征方程. 因为存在所以 即正交 即本征值为实【答案】（1）证：对于厄米算符数（2）证：因为而（3）因为所以具有周期性， 而所以设本征方程为 其中为本征值，上式可改写为易解出即为厄米算符。 C 为积分常数，可由归一化条件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制， 由此可得数记为 即为其本征函数. 相应的本征方程为 16证明么正变换不改变算符的本征值。【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为： 由于相似变换不改变矩阵本征值，故与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。即角动量z 分量的本征值为是量子化的，相应本征函再利用归一化条件可得四、计算题一、填空题考研试题
