大连中考23题圆深度解析0715

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1、1 1 关注角的三角函数 2 圆周角 圆心角 弦切角 3 切线长 垂径定理 4 解直角三角形模型 5 等腰三角形模型 6 利用公共边或等边建立勾股定理方程 7 构建方程求半径 8 识别等腰三角形突破瓶颈 大连中考数学卷中 24 25 26 是压轴的大题 而 23 题则是重要的分水岭 前 22 题难度都不大 23 题处于 中等难度 能否突破 23 题 既关系到 120 分分数段的得失 也是为后续 3 道大题争取更多解题时间的关键 如果 23 题能在 10 分钟内解决 那么后续就有充足的时间去思考大题 心理状态上也会更轻松 相反则影响答题节奏 从近六年大连中考真题及今年的两次模拟考试命题情况来看

2、23 题圆的规律性还是很强的 从所求问题上看 第 1 问证明相切 边相等 角相等 第 2 问求长度已知两条非半径线段 求第三条线段或半径长度 已知一条非半 径线段和半径的长度 求另一条线段的长度 其中第一个问大家通常都能轻松破解 而第二问才是拦路虎 从已知条件上看 切线 直角三角形 2 倍角 平行是常见条件 从所体现的基本几何模型角度看 虽然是以圆命题 但核心围绕的是三角形 尤其是直角三角形 部分情况下 还有等腰三角形 在这样的模式下 圆利用自身的特性为直角三角形的构成提供了垂直条件 切线垂直 垂径垂直 直径的圆周 角垂直 为直角三角形的相似提供了角相等的条件 等弧和同弧的圆周角相等 圆周角是

3、圆心角的一半 半径与弦 构成等腰三角形带来的角相等 弦切角 以及切线构成的 90 叠角和 90 互余的转化 从收集的目前中学生做题的情况来看 到初三阶段很多学生已经形成了自己的固定思维 比如设 X 利用勾股 定理等三角形数量关系去建立方程求解 做垂线 或者频繁的利用对顶角和内角和进行角的数量关系推导 这些技 法手段本身并没有错误 但如果不能吃透考题所包含的模型特征 充分理解题目中的几何关系 那技法的使用会失 去方向 变成程咬金的三板斧 盲目的做了垂线设了 x 之后使自己陷入困境 无力逃生 或者迷失在角度数量关系 的恒等式里不能自拔 事倍而功半 射人先射马 擒贼先擒王 中考几何的核心是三角形 包

4、括以考查几何为目的的 25 题也是这样 而在 23 题圆 的考查中 直角三角形唱主角 一个直角三角形其核心一个是角 一个是各边的比例关系 对于直角三角形来说 抓住了直角三角形中的锐角 就抓住了整个直角三角形 直角三角形确定了一个锐角 则这个三角形的形状就已经 确定了 所有具有相同锐角的直角三角形都是相似的 而对于一个角 我们并不需要知道他的具体角度数 只需要 知道其对应的三角函数 则这就是个已知角了 这个角对应的直角三角形的各边比例关系也就确定了 那些与此直 角三角形相似的直角三角形比例关系也就全部确定了 如同 传染 一样 此时只要有一个边长度已知 则整个直角 三角形都在我们的掌握之中 因此我

5、们在做题过程中不必去刻意寻找相似的直角三角形 只需要抓住直角三角形中的锐角 利用圆的特性和 对顶角 平行 内角和等基本的几何定理推论 去找出相等的角 就等于抓住了一群具备相同形状的相似直角三角 形 这样的方法 执行起来更清晰 流畅 接下来要做的就是看这一组直角三角形中是否有可以确定边的比例关系 甚至是三边的具体值的成员 一旦确定比例关系 就可以 传染 给组内的全部其他直角三角形 而第二问中所求的 长度通常也处于或者可以转换到一个直角三角形中 若其所处的直角三角形恰好就是上述分组中的一员 则我们离 胜利已经进了一步 若处在一个不同形状的直角三角形中 也不用担心 我们还有后续操作 关注直角三角形的

6、锐角 只是我们破解 23 题的基本策略 在执行中 需要借助 2 和 3 中所提到的圆的基本性 质来确定角的相等和边长的长度 2 而要进一步突破长度求值 我们还需要训练出识别发现两大模型的慧眼 两大模型即 4 和 5 一是解直角三角形 模型 一是等腰三角形模型 几何题的求解本质上就是不断利用已知条件和所掌握的定义定理推论 来把更多未知 边和角转换成已知 直至将所求也转化成已知的过程 有时是顺推 有时是逆推 也有的时候需要双管齐下 而这 其中有一些固定搭配可以让我们更快的完成未知到已知的转化 上述两个模型就是在圆的问题中最常见的固定搭配 如上图中 BAC 90 AD 是斜边 BC 上的高 上述 6

7、 条线段中 只要我们知道其中的 2 条 则全部的边都是 可求的 所包含的三个相似的直角三角形中的三角函数也就确定了 方法是利用相似建立方程 在题目中快速识别 出这样的结构 并根据已知的情况判断出哪些边是可求的 作为备用 如果可以推进向目标靠拢再去做计算求出具 体值即可 等腰三角形模型 如上图左中 AB AC AD 是底边上的高 若底角的三角函数值和腰已知 则底边 BC 可求 方法是做高 AD 将其转化为 1 个直角三角形问题 轻松求得 BD 相反的 如果知道底角三角函数和底边的长度 则腰可求 如果知道腰长和底边长度 则底角三角函数可求 若顶角三角函数和腰已知 做腰上的高 可求出高和底边以及高点

8、分割的腰上的线段长度 如右图 相反的 如果知道顶角三角函数和底 则腰可求 设 AD 为 X 则 AB 和 CD 均可用 X 表示 利用 BD 作为公共边建立勾股定理的方程 AB 2 AD2 BC2 CD2 腰和底已知 则顶角三角函数可求 基于左图结论 腰和底已知 则底角三角函数已知 则 BD 可求 又 AB 为已知 顶角三角函数确定 右图中任意两条线段已知 则其他线段均可求 三角函数值可确定 如已知 AD 和 BC 可通过设腰长 为 X 借助 BD 为等量 建立两个直角三角形的勾股定理方程 X 2 AD2 BC2 X AD 2则 X 可求 进而转化为 已知问题 B A D C D C B A

9、B D C A 3 常见的数量关系 在使用了 1 到 5 的思路后 对于一些难度较低的题 基本就已经解决了 另有一些复杂度更高的题则需要借助 园中的数量关系 建立方程来求解最终值或中间值 破解题目 思路 6 是借助直角三角形的公共边或相等边坐标为 桥梁 方程左右分别是用来表示这条边的勾股定理形式 而左右仅含唯一的未知数 思路 7 利用半径与另一已知 长度线段的和差关系 尽可能将一个直角三角形中的未知边用半径来表示 建立仅包含半径的方程 方程或为勾股 定理 或为相似比例关系构建 无论 6 和 7 或是其他的情况下出现方程 尽量避免让方程中包含根号 现阶段所 有知识很难处理这种带有根号的方程 思路

10、 8 重点在于关注角的更深层关系 如果收 1 到 3 中的角的关系是一眼 就能看出来的 那 8 就是需要更多推导才能获得的等角或等边关系 当 1 到 7 全部使用 仍然无法建立有效的数量 关系时 需要回过头来重新审视已知条件和已经得到的推论是否还有遗漏 而等腰三角形往往是此时取得突破的关 键 后边会通过例题来对具体的使用做出说明 辅助线的使用 在大连中考的圆中 辅助线一般比较常规 以连接切点 连接直径所对圆周角为主 垂线作为辅助线 一般来 自连接半径之后根据垂径定理产生的垂直 或者识别到上述等腰三角形模型后主动做垂线 事实上 我们在几何问 题中做辅助线 都应该尽可能做到以下原则 简洁 贴近所求

11、 产生的新线段或三角形可控 比如一个确定比例关 系甚至三边可求的直角三角形才是一个好三角形 否则引入更多未知量 只会增加分析问题的复杂度 有一些同学 甚至做 5 到 8 条辅助线来解题 并声称做出来了 而实际上 如果仔细推敲就会发现 他们绕了一个大弯来得到一 个其实很容易得到的新条件 所以辅助线不要贪多 另外 在分析的过程中 应该经常回头看 当发现了一个新结 论时 利用新结论反推一下确认结论是否合理 同时也是修剪自己的思路 看是否可以有更简洁的路径获取新结论 这样在落笔形成答案时更容易书写 也更利于判卷时得分 下面通过一些实例来介绍上述方法的应用过程 2017 年 23 10 分 如图 AB

12、是 O 直径 点 C 在 O 上 AD 平分 CAB BD 是 O 的切线 AD 与 BC 相交于点 E 1 求证 BD BE 2 若 DE 2 BD 5 求 CE 的长 以 2017 年真题 23 题来套用上述 1 到 5 的思路 解析过程如下 读题后迅速标记出 C 90 ABD 90 1 欲求证 BD BE 可先假设 BD BE 可反推出 D BED AEC 则只需证 D CEA 回头看条件 4 是否可以支持这个结论 已知 AD 平分 CAB 则 CAD BAD 观察可发现 CAE CEA 90 BAD D 90 可得到 D CEA 答案闭环形成 2 已知 DE 和 BD 求 CE 首先使

13、用思路 1 抓住关键锐角 在求证 1 的过程中 已经体现了角平分 线的关键作用 CAE BAD 其所在的直角三角形 ACE 和 ABD 构成一组相似 令人开心的是 需要求的 CE 也处在这个直角三角形家族中 同时观察发现 若设 AD 与圆的交点为 F 连接 BF 由于 AB 是直径 可发 现思路 4 中的直角三角形模型 即 Rt ABD 斜边中线 BF 同时 1 中已经证得 BE BD 连接了 BF 之后构 成思路 5 中的等腰三角形模型 此外 还可得到弧 CF 弧 BF 将 BD 和 DE 已知量填入到图形中 可发现等腰 BDE 的腰和底边已知 高 BF 可求 直角三角形家族 ABD 可解

14、则 AB AD 长度可视为已知 BAD 和 CAE 的三角函数可视为已知 回到我们所要求的 CE 所在的直角 ACE 锐角 CAE 的三角函数已经可视为已 知 余下只需 AC 边或 AE 边可求即可 优先选择考查 AE 因为 AC 与目前已知信息缺乏联系 而 AE 与可视为 已知得 AD 共线 且与其相邻的 DE 本身已知 可求 答案闭环形成 2018 年二模 如图 AB 是圆 O 的直径 BC 与圆 O 相切 AC 与圆 O 相交于点 D 点 E 在 AB 的延长线上 且 DE 与圆 O 相切 DE 与 BC 相交于点 F 1 求证 CF DF 2 所 CF 3 EF 7 求 AC 的长 解

15、析过程如下 1 常规操作连接 OD BD 则 OD DE BD AC AD OD BD DE 形成一组叠角 同时可 借此证明弦切角 BDE A 反推 CF DF 可得到结论 C CDF 结合前面连接辅助线后的垂直结论 和角相等结论 又根据已知可得 OB BC 则 C A 90 CDF BDE 90 闭环形成 得证 2 CF 3 则 DF 3 第 1 问结论 BF 3 切线长定理 BF DF BC BF CF 6 又 EF 7 则 DE DF EF 10 BE 可根据勾股定理求得 E 的三角函数值可求 同样以 E 为锐角的 Rt ODE 各边 比例确定 DE 已经求得 则 OD 可根据 E 的

16、tan 值获得 即半径转化为已知 则 AB 转化为已知 又 BC 6 AC 可根据勾股定理确定 一些更具难度的题目 所求的线段并不处于一个良好的直角三角形中 甚至不处在一个直角三角形中 此时我 C E D F B O A 5 们会动用到 6 7 8 三条 以下为 2016 年真题 2016 年 23 10 分 如图 AB 是 O 的直径 点 C D 在 O 上 A 2 BCD 点 E 在 AB 的延长线上 AED ABC 1 求证 DE 与 O 相切 2 若 BF 2 DF 10 求 O 的半径 解析过程如下 1 不需要思考 直接连接 OD 反观题目中的条件和图形 看可以推导出哪些结论 作为备用 AB 是直接 迅速标记出 ACB 90 根据 A 2 BCD 主动寻找 A 的半角或 BCD 的 2 倍角 可知 A DOE 因为 DOE 是 BCD 这个圆周角对应的圆心角 又有 ABC AED 则答案已经浮现 A ABC 90 所以 DOE AED 90 则 ODE 为直角 切线得证 2 此问有一定难度 所给的 BF 和 DF 都不在直角三角形中 而是同处于 BDF 中 因此尝试连接 BD