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1、第三章导数及其应用命题探究解答过程(解法一)(1)f(x)的定义域为(-,+), f (x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).其中2ex+10恒成立.(i)若a0,则f (x)0,则由f (x)=0得x=-ln a.当x(-,-ln a)时, f (x)0.所以f(x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+)上单调递增.(2)(i)若a0,由(1)知, f(x)至多有一个零点.(ii)若a0,由(1)知,当x=-ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(-ln a)=1-1a+ln a.当a=1时,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一个零点;
2、当a(1,+)时,由于1-1a+ln a0,即f(-ln a)0,故f(x)没有零点;当a(0,1)时,1-1a+ln a0,即f(-ln a)-2e-2+20,故f(x)在(-,-ln a)有一个零点.设正整数n0满足n0ln3a-1,则f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0en0-n02n0-n00.由于ln3a-1-ln a,因此f(x)在(-ln a,+)有一个零点.综上,a的取值范围为(0,1).(解法二)(1)同解法一(1).(2)若a0,则f(x)在R上单调递减,至多只有一个零点,不符,舍去;若a0,当x+时,f(x)+;当x-时,f(x)+,要使f(x)有两个零点,只要f
3、min(x)=f(-ln a)0即可,即a1a2+(a-2)1a-ln 1a0,即1-1a-ln 1a0,则g(t)=1-t-ln t,且g(t)在(0,+)上单调递减,又g(1)=0,当t=1a1,即0a1时,g(t)0,即f(-ln a)0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)教师用书专用(68)6.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案(-ln 2,2)7.(2013福建,17,13分)已知函数f(x)=x-aln x(aR).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1, f(1)处的切线方程;(2)求函
4、数f(x)的极值.解析函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)=1-ax.(1)当a=2时, f(x)=x-2ln x, f (x)=1-2x(x0),因而f(1)=1, f (1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1, f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f (x)=1-ax=x-ax,x0知:当a0时, f (x)0,函数f(x)为(0,+)上的增函数,函数f(x)无极值;当a0时,由f (x)=0,解得x=a.又当x(0,a)时, f (x)0,则f(x)在(a,+)上单调递增,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln
5、 a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.8.(2013北京,18,13分)设L为曲线C:y=lnxx在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解析(1)设f(x)=lnxx,则f (x)=1-lnxx2.所以f (1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)证明:令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0,x1).g(x)满足g(1)=0,且g(x)=1-f (x)=x2-1+lnxx2.当0x1时,x2-10,ln
6、x0,所以g(x)1时,x2-10,ln x0,所以g(x)0,故g(x)单调递增.所以,g(x)g(1)=0(x0,x1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.考点二导数的运算1.(2013江西,13,5分)设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f (1)=.答案22.(2017北京,19,13分)已知函数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.解析(1)因为f(x)=excos x-x,所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, f (0)=0.又因为f(0
7、)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.当x0,2时,h(x)0,所以h(x)在区间0,2上单调递减.所以对任意x0,2有h(x)h(0)=0,即f (x)0知, f (x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知, f (
8、x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).4.(2015北京,18,13分)已知函数f(x)=ln1+x1-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程;(2)求证:当x(0,1)时, f(x)2x+x33;(3)设实数k使得f(x)kx+x33对x(0,1)恒成立,求k的最大值.解析(1)因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),所以f (x)=11+x+11-x, f (0)=2.又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=2x.(2)证明:令g(x)=f(x)-2x+x33,则g(x)=f (x)-2(1+x2)=2x
9、41-x2.因为g(x)0(0xg(0)=0,x(0,1),即当x(0,1)时, f(x)2x+x33.(3)由(2)知,当k2时, f(x)kx+x33对x(0,1)恒成立.当k2时,令h(x)=f(x)-kx+x33,则h(x)=f (x)-k(1+x2)=kx4-(k-2)1-x2.所以当0x4k-2k时,h(x)0,因此h(x)在区间0,4k-2k上单调递减.当0x4k-2k时,h(x)h(0)=0,即f(x)2时, f(x)kx+x33并非对x(0,1)恒成立.综上可知,k的最大值为2.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一导数的概念及其几何意义1.(2018福建闽侯第六中学月考,8)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导数为f (x),且f (x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为() A.6x+y-12=0B.9x+y-16=0C.6x-y-12=0D.9x-y-16=0答案D2.(2017湖北百所重点高中联考,4)已知函数f(x+1)=2x+1x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为() A.1B.-1C.2D.-2答案A3.(2017广东惠州第二次调研,14)已知直线y=x+1与曲线y=ln(
