《【2019版课标版】最新高考数学文科精品课件§4.3 三角函数的最值与综合应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2019版课标版】最新高考数学文科精品课件§4.3 三角函数的最值与综合应用（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.3三角函数的最值与综合应用考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.三角函数的最值了解三角函数的最值(值域);理解三角函数取最值的条件理解2017课标全国,14;2017江苏,16;2015陕西,3选择题填空题解答题2.三角函数的图象和性质的综合应用结合三角函数的性质,会求形如函数y=Asin(x+)(A0,0)的综合问题掌握2015安徽,10;2014四川,16选择题填空题解答题分析解读1.求三角函数最值时,一般要进行一些代数变换和三角变换,要注意函数有意义的条件及正、余弦函数的有界性.2.借助辅助角公式将函数y=asin x+bcos x化为y=a2+b2sin(x+)的形式
2、,求最值是高考热点.3.本节在高考中分值为5分或12分,属于中低档题.五年高考考点一三角函数的最值1.(2016课标全国,12,5分)已知函数f(x)=sin(x+)0,|2,x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在18,536单调,则的最大值为() A.11B.9C.7D.5答案B2.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为() A.5B.6C.8D.10答案C3.(2017课标全国,14,5分)函数f(x)=sin2x+3cos x-34x0,2的最
3、大值是.答案14.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-33.又x0,所以x=56.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-3)=3cos x-3sin x=23cosx+6.因为x0,所以x+66,76,从而-1cosx+6
4、32.于是,当x+6=6,即x=0时, f(x)取到最大值3;当x+6=,即x=56时, f(x)取到最小值-23.教师用书专用(58)5.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-6,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-3,4上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-32=1212cos2x+32sin2x-12cos 2x=34sin 2x-14cos 2x=12sin2x-6.所以, f(x)的最小正周期T=22=.(2)因为f(x)在区间-3,-6上是减函数,在区间-6,4上是增函数, f
5、-3=-14, f -6=-12, f 4=34.所以, f(x)在区间-3,4上的最大值为34,最小值为-12.6.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=2sinx2cosx2-2sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-,0上的最小值.解析(1)因为f(x)=22sin x-22(1-cos x)=sinx+4-22,所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为-x0,所以-34x+44.当x+4=-2,即x=-34时, f(x)取得最小值.所以f(x)在区间-,0上的最小值为f-34=-1-22.7.(2013辽宁,17,12分)设向量a=(3sin x,
6、sin x),b=(cos x,sin x),x0,2.(1)若|a|=|b|,求x的值;(2)设函数f(x)=ab,求f(x)的最大值.解析(1)由|a|2=(3sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1及|a|=|b|,得4sin2x=1.又x0,2,从而sin x=12,所以x=6.(6分)(2)f(x)=ab=3sin xcos x+sin2x=32sin 2x-12cos 2x+12=sin2x-6+12,当x=30,2时,sin2x-6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.(12分)8.(2013陕西,16,12分)已知向量a
7、=cosx,-12,b=(3sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在0,2上的最大值和最小值.解析f(x)=cosx,-12(3sin x,cos 2x)=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=cos6sin 2x-sin6cos 2x=sin2x-6.(1)f(x)的最小正周期为T=2=22=,即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x2,-62x-656.由正弦函数的性质,当2x-6=2,即x=3时, f(x)取得最大值1.当2x-6=-6,即x=0时, f(0)=-12,当2x-6=56
8、,即x=2时, f2=12,f(x)的最小值为-12.因此, f(x)在0,2上的最大值是1,最小值是-12.考点二三角函数的图象和性质的综合应用1.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x=23时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A. f(2) f(-2) f(0)B. f(0) f(2) f(-2)C. f(-2) f(0) f(2)D. f(2) f(0) f(-2)答案A2.(2014安徽,11,5分)若将函数f(x)=sin2x+4的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是.答案38解析根据题
9、意设g(x)=f(x-)=sin2(x-)+4,则g(x)的图象关于y轴对称,g(0)=1,即sin-2+4=1,-2+4=k+2(kZ),=-k2-8(kZ).当k=-1时,的最小正值为38.3.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin3x+4.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若是第二象限角, f3=45cos+4cos 2,求cos -sin 的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为-2+2k,2+2k,kZ.由-2+2k3x+42+2k,kZ,得-4+2k3x12+2k3,kZ.所以,函数f(x)的单调递增区间为-4+2k3,12+2k3,kZ.(2)由
10、已知,有sin+4=45cos+4(cos2-sin2),所以sin cos4+cos sin4=45coscos4-sinsin4(cos2-sin2).即sin +cos =45(cos -sin )2(sin +cos ).当sin +cos =0时,由是第二象限角,知=34+2k,kZ.此时,cos -sin =-2.当sin +cos 0时,有(cos -sin )2=54.由是第二象限角,知cos -sin 0,此时cos -sin =-52.综上所述,cos -sin =-2或-52.教师用书专用(48)4.(2013江西,10,5分)如图,半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在
11、两平行线l1,l2之间,ll1,l与半圆相交于F,G两点,与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧FG的长为x(0x),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大致是()答案D5.(2015福建,19,13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在0,2)内有两个不同的解,.(i)求实数m的取值范围;(ii)证明:cos(-)=2
12、m25-1.解析(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移2个单位长度后得到y=2cosx-2的图象,故f(x)=2sin x.从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=k+2(kZ).(2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x=525sinx+15cosx=5sin(x+)其中sin=15,cos=25.依题意知,sin(x+)=m5在0,2)内有两个不同的解,当且仅当m51,故m的取值范围是(-5,5).(ii)证法一:因为,是方程5sin(x+)=m在0,2)内的两
13、个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5.当1m5时,+=22-,即-=-2(+);当-5m1时,+=232-,即-=3-2(+),所以cos(-)=-cos2(+)=2sin2(+)-1=2m52-1=2m25-1.证法二:因为,是方程5sin(x+)=m在0,2)内的两个不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5.当1m5时,+=22-,即+=-(+);当-5m1时,+=232-,即+=3-(+).所以cos(+)=-cos(+).于是cos(-)=cos(+)-(+)=cos(+)cos(+)+sin(+)sin(+)=-cos2(+)+sin(+)sin(+)=-1-m52+m52=2m25-1.6.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-3cos12t-sin12t,t0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间实验室需要降温?解析(1)f(t)=10-232cos12t+12sin12t=10-2sin12t+3,因为0t24,所以312t+373,-1sin12t+31.于是f(t)在0,24)上的最大值为12,最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ,最低温度为8 ,最
